À quoi sert ce calculateur
Cet outil s'applique à un polygone régulier (un polygone à n côtés dont tous les côtés et tous les angles sont égaux). À partir de la longueur du côté a et d'un intervalle de nombres de côtés n, il détermine le rayon du cercle circonscrit (le cercle qui passe par tous les sommets), l'aire de ce cercle et l'aire du polygone lui-même. Il construit un tableau avec une ligne par valeur entière de n, du minimum au maximum que vous choisissez, afin de comparer les formes côte à côte. Il s'agit de géométrie plane pure, valable partout de façon identique : aucune unité ni réglementation locale n'entre en jeu, et toutes les aires s'expriment simplement dans le carré de l'unité de longueur utilisée pour a.
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur du côté a (elle doit être strictement supérieure à 0), puis un nombre de côtés minimal et un nombre de côtés maximal. Chaque n doit être un entier d'au moins 3, car un polygone nécessite trois côtés ou plus. Le tableau est limité à 200 lignes. Pour n'obtenir qu'une seule forme, indiquez la même valeur pour « de » et « à ».
Les formules expliquées
Le rayon du cercle circonscrit s'obtient en découpant le polygone en n triangles isocèles ayant un sommet commun au centre ; chaque côté sous-tend un angle au centre de \(2\pi/n\), d'où $$r = \dfrac{a}{2\sin(\pi/n)}$$ L'aire du cercle circonscrit est donnée par la formule habituelle $$S_c = \pi r^2$$ L'aire du polygone vaut $$S_p = \dfrac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ À mesure que n augmente, le polygone épouse de plus en plus étroitement son cercle, si bien que \(S_p\) tend vers \(S_c\) — un bon moyen de vérifier la cohérence des résultats.
Exemple détaillé
Prenons un hexagone régulier (n = 6) de côté a = 1. On a alors \(\pi/6 \approx 0{,}5236\) rad et \(\sin(\pi/6) = 0{,}5\), donc $$r = \frac{1}{2\times 0{,}5} = 1$$ L'aire du cercle est $$S_c = \pi\times 1^2 \approx 3{,}14159$$ et, avec \(\tan(\pi/6) \approx 0{,}57735\), l'aire du polygone est $$S_p = \frac{6}{4\times 0{,}57735} \approx 2{,}59808$$
FAQ
Le rayon du cercle circonscrit est-il identique à l'apothème ? Non. Le rayon circonscrit atteint les sommets ; l'apothème atteint le milieu d'un côté et il est donc plus court.
Pourquoi n doit-il valoir au moins 3 ? Avec moins de trois côtés, il est impossible de délimiter une aire, et le terme en tangente n'a plus de sens pour n = 1 ou n = 2.
Dans quelle unité les aires sont-elles exprimées ? Si a est en centimètres, les aires sont en centimètres carrés : l'outil est indépendant de l'unité choisie et conserve une cohérence totale.
