Qué hace esta calculadora
Esta herramienta trabaja con polígonos regulares (polígonos de n lados con todos sus lados y ángulos iguales). A partir de la longitud del lado a y un rango de números de lados n, calcula el radio de la circunferencia circunscrita (la que pasa por todos los vértices), el área de dicha circunferencia y el área del propio polígono. Genera una tabla con una fila por cada valor entero de n, desde el mínimo hasta el máximo que elijas, de modo que puedas comparar las figuras unas junto a otras. Se trata de geometría plana pura, válida exactamente igual en cualquier lugar: no influyen las unidades ni ningún país, y todas las áreas se expresan simplemente en el cuadrado de la unidad de longitud que utilices para a.
Cómo utilizarla
Introduce la longitud del lado a (debe ser mayor que 0) y, a continuación, el número de lados mínimo y máximo. Cada n tiene que ser un número entero de al menos 3, ya que un polígono necesita tres o más lados. La tabla admite un máximo de 200 filas. Si solo quieres una figura concreta, asigna el mismo valor a los campos «desde» y «hasta».
Las fórmulas explicadas
El circunradio se obtiene dividiendo el polígono en n triángulos isósceles que se encuentran en el centro; cada lado abarca un ángulo central de \(2\pi/n\), lo que da $$r = \frac{a}{2\sin(\pi/n)}$$ El área de la circunferencia circunscrita es la conocida $$S_c = \pi r^2.$$ El área del polígono es $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}.$$ A medida que n crece, el polígono se ajusta cada vez más a su circunferencia, de manera que \(S_p\) se aproxima a \(S_c\), una comprobación muy útil para verificar los resultados.
Ejemplo resuelto
Tomemos un hexágono regular (\(n = 6\)) con lado \(a = 1\). Entonces \(\pi/6 \approx 0{,}5236\) rad, \(\sin(\pi/6) = 0{,}5\), por lo que $$r = \frac{1}{2\times 0{,}5} = 1.$$ El área del círculo es $$S_c = \pi\times 1^2 \approx 3{,}14159$$ y, con \(\tan(\pi/6) \approx 0{,}57735\), el área del polígono resulta $$S_p = \frac{6}{4\times 0{,}57735} \approx 2{,}59808.$$
Preguntas frecuentes
¿Es lo mismo el circunradio que la apotema? No. El circunradio llega hasta los vértices, mientras que la apotema llega al punto medio de un lado y es más corta.
¿Por qué n tiene que ser al menos 3? Con menos de tres lados no se puede encerrar un área, y además el término de la tangente no estaría definido para \(n = 1\) o \(n = 2\).
¿En qué unidades se expresan las áreas? Si a está en centímetros, las áreas estarán en centímetros cuadrados: la herramienta es independiente de las unidades y mantiene todo coherente.
