정다각형 외접원 계산기

계산 입력

한 변의 길이 a

변의 개수 n (시작)

변의 개수 n (끝)

공식

Show calculation steps (1)

1. Areas

   

   Area of the circumscribed circle and area of the polygon itself.

결과

Circumradius r (n = 3)

0.57735

circle through all vertices, side a = 1

n (변의 수)	외접원 반지름 r	외접원 넓이 S_c	다각형 넓이 S_p
3	0.57735	1.047198	0.433013
4	0.707107	1.570796	1
5	0.850651	2.273278	1.720477
6	1	3.141593	2.598076
7	1.152382	4.171989	3.633912
8	1.306563	5.363034	4.828427
9	1.461902	6.71408	6.181824
10	1.618034	8.224796	7.694209
11	1.774733	9.895	9.36564
12	1.931852	11.724583	11.196152

이 계산기의 기능

이 도구는 정다각형(모든 변과 각이 같은 n각형)을 다룹니다. 한 변의 길이 a와 변의 개수 n의 범위를 입력하면 외접원(모든 꼭짓점을 지나는 원)의 반지름, 그 원의 넓이, 그리고 다각형 자체의 넓이를 계산합니다. 지정한 최솟값부터 최댓값까지 정수 n마다 한 행씩 표를 만들어 주므로, 여러 도형을 나란히 비교해 볼 수 있습니다. 이것은 순수한 평면 기하학이라 어디서나 동일하게 적용됩니다. 단위나 국가별 규정과는 무관하며, 모든 넓이는 a에 사용한 길이 단위의 제곱으로 그대로 표현됩니다.

외접원은 정다각형의 모든 꼭짓점을 지나며, 외접원 반지름은 \(r\)입니다.

사용 방법

한 변의 길이 \(a\)(0보다 커야 함)를 입력한 다음, 변의 개수의 최솟값과 최댓값을 입력하세요. 각 \(n\)은 3 이상의 정수여야 합니다. 다각형은 변이 세 개 이상이어야 성립하기 때문입니다. 표는 최대 200행까지 표시됩니다. 하나의 도형만 보고 싶다면 "시작" 값과 "끝" 값을 같은 숫자로 맞추면 됩니다.

공식 설명

외접원 반지름은 다각형을 중심에서 만나는 n개의 이등변삼각형으로 나누는 데서 나옵니다. 각 변이 이루는 중심각은 \(2\pi/n\)이므로 다음과 같이 됩니다.

$$r = \frac{a}{2\sin(\pi/n)}$$

외접원의 넓이는 익숙한 공식 \(S_c = \pi r^2\)입니다. 다각형의 넓이는 다음과 같습니다.

$$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$

n이 커질수록 다각형은 외접원에 점점 더 바짝 들러붙어 \(S_p\)가 \(S_c\)에 가까워지는데, 이는 계산이 맞는지 점검하는 좋은 기준이 됩니다.

각 중심 삼각형은 중심각의 절반을 통해 변 \(a\)와 외접원 반지름 \(r\)을 연결합니다.

계산 예시

한 변의 길이 \(a = 1\)인 정육각형(\(n = 6\))을 생각해 봅시다. \(\pi/6 \approx 0.5236\) rad이고 \(\sin(\pi/6) = 0.5\)이므로 다음과 같습니다.

$$r = \frac{1}{2\times 0.5} = 1$$

외접원의 넓이는 \(S_c = \pi\times 1^2 \approx 3.14159\)이고, \(\tan(\pi/6) \approx 0.57735\)를 적용하면 다각형의 넓이는 다음과 같이 됩니다.

$$S_p = \frac{6}{4\times 0.57735} \approx 2.59808$$

자주 묻는 질문

외접원 반지름과 내접원 반지름(아포템)은 같은가요? 아닙니다. 외접원 반지름은 꼭짓점까지 닿지만, 아포템은 한 변의 중점까지만 닿기 때문에 더 짧습니다.

왜 n이 3 이상이어야 하나요? 변이 세 개보다 적으면 넓이를 가둘 수 없고, \(n = 1\)이나 2일 때는 탄젠트 항이 성립하지 않기 때문입니다.

넓이의 단위는 무엇인가요? a를 센티미터로 입력했다면 넓이는 제곱센티미터로 나옵니다. 이 도구는 특정 단위에 얽매이지 않고 모든 값을 일관되게 유지합니다.