नियमित बहुभुज के परिवृत्त की गणना करने वाला कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

भुजा की लंबाई a

भुजाओं की संख्या n (से)

भुजाओं की संख्या n (तक)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Areas

   

   Area of the circumscribed circle and area of the polygon itself.

परिणाम

Circumradius r (n = 3)

0.57735

circle through all vertices, side a = 1

n (भुजाएँ)	परिवृत्त त्रिज्या r	वृत्त का क्षेत्रफल S_c	बहुभुज का क्षेत्रफल S_p
3	0.57735	1.047198	0.433013
4	0.707107	1.570796	1
5	0.850651	2.273278	1.720477
6	1	3.141593	2.598076
7	1.152382	4.171989	3.633912
8	1.306563	5.363034	4.828427
9	1.461902	6.71408	6.181824
10	1.618034	8.224796	7.694209
11	1.774733	9.895	9.36564
12	1.931852	11.724583	11.196152

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल नियमित बहुभुज (ऐसा n-भुज जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हों) पर काम करता है। आपको बस भुजा की लंबाई a और भुजाओं की संख्या n की एक रेंज देनी होती है, और यह निकाल देता है — परिवृत्त की त्रिज्या (वह वृत्त जो बहुभुज के हर शीर्ष से होकर गुजरता है), उस वृत्त का क्षेत्रफल, और खुद बहुभुज का क्षेत्रफल। आपके चुने न्यूनतम से अधिकतम तक हर पूर्णांक n के लिए एक पंक्ति बनती है, जिससे आप अलग-अलग आकृतियों की तुलना आसानी से कर सकते हैं। यह शुद्ध समतल ज्यामिति है और हर जगह बिल्कुल एक जैसी लागू होती है — कोई इकाई या देश-विशेष नियम मायने नहीं रखते। सभी क्षेत्रफल बस उसी लंबाई इकाई के वर्ग में आते हैं जो आपने a के लिए इस्तेमाल की।

परिवृत्त सम बहुभुज के हर शीर्ष से होकर गुज़रता है, जिसकी परित्रिज्या \(r\) है।

इसका उपयोग कैसे करें

भुजा की लंबाई a दर्ज करें (यह 0 से बड़ी होनी चाहिए), फिर भुजाओं की न्यूनतम और अधिकतम संख्या डालें। हर n कम से कम 3 का पूर्णांक होना चाहिए, क्योंकि किसी बहुभुज में तीन या उससे अधिक भुजाएँ ज़रूरी हैं। तालिका अधिकतम 200 पंक्तियों तक सीमित है। यदि आपको सिर्फ़ एक आकृति की गणना चाहिए, तो "से" और "तक" दोनों मानों को एक ही संख्या पर सेट कर दें।

सूत्रों की व्याख्या

परिवृत्त त्रिज्या तब निकलती है जब बहुभुज को केंद्र पर मिलने वाले n समद्विबाहु त्रिभुजों में बाँटा जाए; हर भुजा केंद्र पर \(2\pi/n\) का कोण बनाती है, जिससे $$r = \dfrac{a}{2\sin(\pi/n)}$$ परिवृत्त का क्षेत्रफल मानक सूत्र $$S_c = \pi r^2$$ से मिलता है। बहुभुज का क्षेत्रफल $$S_p = \dfrac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ होता है। जैसे-जैसे n बढ़ता है, बहुभुज अपने वृत्त से और कसकर लिपटता जाता है, इसलिए \(S_p\) धीरे-धीरे \(S_c\) के करीब पहुँचता है — यह आपकी गणना जाँचने का एक आसान तरीका है।

प्रत्येक केंद्रीय त्रिभुज भुजा \(a\) को परित्रिज्या \(r\) से केंद्रीय कोण के आधे द्वारा जोड़ता है।

हल किया हुआ उदाहरण

एक नियमित षट्भुज (\(n = 6\)) लें जिसकी भुजा \(a = 1\) है। तब \(\pi/6 \approx 0.5236\) रेडियन, \(\sin(\pi/6) = 0.5\), इसलिए \(r = \dfrac{1}{2\times 0.5} = 1\)। वृत्त का क्षेत्रफल \(S_c = \pi\times 1^2 \approx 3.14159\) है, और \(\tan(\pi/6) \approx 0.57735\) के साथ बहुभुज का क्षेत्रफल \(S_p = \dfrac{6}{4\times 0.57735} \approx 2.59808\) निकलता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या परिवृत्त त्रिज्या और अंतःत्रिज्या (apothem) एक ही चीज़ हैं? नहीं। परिवृत्त त्रिज्या शीर्षों तक पहुँचती है; जबकि अंतःत्रिज्या किसी भुजा के मध्यबिंदु तक पहुँचती है और छोटी होती है।

n कम से कम 3 क्यों होना चाहिए? तीन से कम भुजाओं में कोई क्षेत्रफल बंद नहीं हो सकता, और \(n = 1\) या \(2\) के लिए tan वाला पद भी गड़बड़ा जाएगा।

क्षेत्रफल किन इकाइयों में आते हैं? यदि a सेंटीमीटर में है, तो क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर में आएँगे — यह टूल किसी भी इकाई के साथ काम करता है और हर चीज़ को एक जैसी इकाई में बनाए रखता है।