यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल गणितीय स्थिरांक पाई (π) का अनुमान आर्किमिडीज़ की प्रसिद्ध शास्त्रीय विधि से लगाता है। मान लीजिए किसी वृत्त का व्यास 1 है — तब उसकी परिधि ठीक π के बराबर होती है। यदि इस वृत्त के बिल्कुल बाहर से सटाकर एक नियमित बहुभुज (परिवृत्त) खींचा जाए, तो उसका परिमाप π से थोड़ा अधिक होगा; और यदि वृत्त के अंदर एक नियमित बहुभुज (अंतर्निहित) खींचा जाए, तो उसका परिमाप π से थोड़ा कम होगा। भुजाओं की संख्या को बार-बार दोगुना करते जाने पर दोनों परिमाप ऊपर और नीचे से π की ओर सिकुड़ते चले जाते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले एक शुरुआती बहुभुज चुनें — वर्ग (4 भुजाएं) या षट्भुज (6 भुजाएं)। फिर दोगुना करने वाले चक्रों की संख्या \(n\) दर्ज करें; \(n\) चक्रों के बाद बहुभुज में \(4\cdot 2^{n}\) भुजाएं (वर्ग शाखा) या \(6\cdot 2^{n}\) भुजाएं (षट्भुज शाखा) हो जाती हैं। तय करें कि परिणाम में कितने अंक दिखाने हैं। जैसे ही ऊपरी और निचली सीमाएं मशीन की परिशुद्धता तक एक-दूसरे से मिल जाती हैं, कैलकुलेटर अपने आप रुक जाता है — इसलिए \(n\) का बड़ा मान देना पूरी तरह सुरक्षित है।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(a\) परिवृत्त बहुभुज का परिमाप है और \(b\) अंतर्निहित बहुभुज का परिमाप। हर पुनरावृत्ति में पहले $$a_{k+1} = \frac{2\,a_k\,b_k}{a_k + b_k}$$ लगाया जाता है, जो पिछले \(a\) और \(b\) का हरात्मक माध्य है; इसके बाद $$b_{k+1} = \sqrt{a_{k+1}\,b_k}$$ लगाया जाता है, जो नए \(a\) और पुराने \(b\) का ज्यामितीय माध्य है। वर्ग शाखा \(a_0=4\) और \(b_0=2\sqrt{2} \approx 2.8284271\) से शुरू होती है; षट्भुज शाखा \(a_0=2\sqrt{3} \approx 3.4641016\) और \(b_0=3\) से शुरू होती है। हर समय \(b < \pi < a\) बना रहता है।
हल किया गया उदाहरण
वर्ग से शुरू करते हुए: \(a_0=4\), \(b_0=2.82842712\)। पहले चक्र में $$a_1=\frac{2\cdot 4\cdot 2.82842712}{6.82842712}=3.31370850$$ और $$b_1=\sqrt{3.31370850\cdot 2.82842712}=3.06146746$$ मिलता है। दूसरे चक्र में \(a_2 \approx 3.18259788\), \(b_2 \approx 3.12144515\) आता है। लगभग 25 बार दोगुना करने के बाद यह दायरा सिमटकर \(3.141592653589793\) पर आ जाता है, जो डबल-प्रिसीज़न में π का पूरा मान है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
व्यास 1 वाला वृत्त ही क्यों? क्योंकि तब परिधि ठीक π के बराबर होती है, जिससे बहुभुजों के परिमाप बिना किसी स्केलिंग के सीधे π का अनुमान बन जाते हैं।
यह \(n\) चक्रों से पहले ही क्यों रुक जाता है? सामान्य डबल-प्रिसीज़न अंकगणित लगभग 15–16 सार्थक अंक तक ही गणना करता है। जैसे ही \(a\) और \(b\) उस परिशुद्धता तक एक समान हो जाते हैं, और चक्र चलाने से उत्तर में सुधार नहीं हो सकता, इसलिए पुनरावृत्ति जल्दी समाप्त हो जाती है।
वर्ग या षट्भुज — कौन-सा बेहतर है? दोनों एक ही मान तक पहुंचते हैं। षट्भुज π के अधिक करीब से शुरू होता है, इसलिए वह किसी दी गई सटीकता तक थोड़े कम दोगुना चक्रों में पहुंच जाता है।
