Что делает этот калькулятор
Этот инструмент приближённо вычисляет математическую константу пи (π) классическим методом Архимеда. Для окружности диаметром 1 длина окружности в точности равна π. Правильный многоугольник, описанный вокруг такой окружности, имеет периметр чуть больше π, а вписанный в неё многоугольник — периметр чуть меньше π. Многократно удваивая число сторон, мы заставляем оба периметра сходиться к π одновременно сверху и снизу.
Как пользоваться
Выберите начальный многоугольник — квадрат (4 стороны) или шестиугольник (6 сторон). Укажите число удвоений n; после n шагов многоугольник имеет \(4\cdot 2^n\) сторон (вариант с квадратом) или \(6\cdot 2^n\) сторон (вариант с шестиугольником). Задайте, сколько знаков выводить. Калькулятор останавливается заранее, как только верхняя и нижняя границы совпадут с точностью вычислений, поэтому большое значение n совершенно безопасно.
Разбор формулы
Пусть a — периметр описанного многоугольника, а b — периметр вписанного. На каждом шаге применяется $$a_{k+1} = \frac{2\,a_k\,b_k}{a_k + b_k}$$ — среднее гармоническое прежних a и b, затем $$b_{k+1} = \sqrt{a_{k+1}\,b_k}$$ — среднее геометрическое нового a и старого b. Вариант с квадратом стартует при \(a_0=4\) и \(b_0=2\sqrt{2} \approx 2{,}8284271\); вариант с шестиугольником — при \(a_0=2\sqrt{3} \approx 3{,}4641016\) и \(b_0=3\). На всех шагах выполняется \(b_k < \pi < a_k\).
Разобранный пример
Начнём с квадрата: \(a_0=4\), \(b_0=2{,}82842712\). Первый шаг даёт $$a_1=\frac{2\cdot 4\cdot 2{,}82842712}{6{,}82842712}=3{,}31370850$$ и $$b_1=\sqrt{3{,}31370850\cdot 2{,}82842712}=3{,}06146746.$$ Второй шаг приводит к \(a_2 \approx 3{,}18259788\) и \(b_2 \approx 3{,}12144515\). Примерно через 25 удвоений границы сжимаются до 3,141592653589793 — полного значения π в двойной точности.
Частые вопросы
Почему берётся окружность диаметром 1? Потому что тогда длина окружности в точности равна π, и периметры многоугольников сразу служат оценками π без какого-либо масштабирования.
Почему вычисление останавливается раньше n шагов? Стандартная арифметика двойной точности хранит около 15–16 значащих цифр. Как только a и b совпадают с этой точностью, дальнейшие шаги не улучшают результат, поэтому итерации завершаются досрочно.
Квадрат или шестиугольник — что лучше? Оба варианта сходятся к одному и тому же значению. Шестиугольник стартует ближе к π, поэтому достигает заданной точности за чуть меньшее число удвоений.
