Ce que fait ce calculateur
Cet outil approche la constante mathématique pi (π) à l'aide de la méthode classique d'Archimède. Pour un cercle de diamètre 1, la circonférence vaut exactement π. Un polygone régulier tracé au plus près autour du cercle (circonscrit) possède un périmètre légèrement supérieur à π, tandis qu'un polygone régulier tracé à l'intérieur du cercle (inscrit) a un périmètre légèrement inférieur à π. En doublant à plusieurs reprises le nombre de côtés, les deux périmètres se resserrent autour de π, l'un par excès, l'autre par défaut.
Comment l'utiliser
Choisissez un polygone de départ : un carré (4 côtés) ou un hexagone (6 côtés). Saisissez le nombre de doublements n ; après n itérations, le polygone compte \(4\cdot 2^{n}\) côtés (branche carré) ou \(6\cdot 2^{n}\) côtés (branche hexagone). Indiquez le nombre de décimales à afficher. Le calculateur s'arrête de lui-même dès que les deux bornes coïncident à la précision de la machine : vous pouvez donc choisir un grand n en toute tranquillité.
La formule expliquée
Notons a le périmètre du polygone circonscrit et b celui du polygone inscrit. À chaque itération, on calcule
$$a_{k+1} = \frac{2\,a_k\,b_k}{a_k + b_k},\qquad b_{k+1} = \sqrt{a_{k+1}\,b_k}$$où \(a_{k+1}\) est la moyenne harmonique des valeurs précédentes de a et b, puis \(b_{k+1}\) la moyenne géométrique du nouveau a et de l'ancien b. La branche carré démarre à \(a_0=4\) et \(b_0=2\sqrt{2} \approx 2{,}8284271\) ; la branche hexagone part de \(a_0=2\sqrt{3} \approx 3{,}4641016\) et \(b_0=3\). À tout instant, on a
$$b_k < \pi < a_k$$
Exemple détaillé
En partant d'un carré : \(a_0=4\), \(b_0=2{,}82842712\). La première itération donne
$$a_1=\frac{2\cdot 4\cdot 2{,}82842712}{6{,}82842712}=3{,}31370850$$$$b_1=\sqrt{3{,}31370850\cdot 2{,}82842712}=3{,}06146746$$La deuxième itération fournit \(a_2 \approx 3{,}18259788\) et \(b_2 \approx 3{,}12144515\). Après environ 25 doublements, l'encadrement se referme sur \(3{,}141592653589793\), la valeur complète de π en double précision.
Foire aux questions
Pourquoi un cercle de diamètre 1 ? Parce que sa circonférence vaut alors exactement π : les périmètres des polygones constituent ainsi des estimations directes de π, sans aucune mise à l'échelle.
Pourquoi s'arrête-t-il avant d'atteindre n itérations ? L'arithmétique en double précision conserve environ 15 à 16 chiffres significatifs. Dès que a et b sont identiques à cette précision, de nouvelles itérations ne peuvent plus améliorer le résultat : le calcul s'interrompt donc plus tôt.
Carré ou hexagone : lequel choisir ? Les deux convergent vers la même valeur. L'hexagone part plus près de π : il atteint donc une précision donnée en un peu moins de doublements.
