ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تقدّر هذه الأداة قيمة الثابت الرياضي باي (π) باستخدام الطريقة الكلاسيكية التي ابتكرها أرخميدس. إذا كان قطر الدائرة يساوي 1، فإن محيطها يساوي تمامًا π. والمضلع المنتظم الذي يُرسم محيطًا بالدائرة من الخارج (مضلع خارجي) يكون محيطه أكبر قليلًا من π، بينما المضلع المنتظم المرسوم داخل الدائرة (مضلع داخلي) يكون محيطه أصغر قليلًا من π. وعند مضاعفة عدد الأضلاع مرارًا وتكرارًا، يقترب المحيطان من قيمة π من الأعلى والأسفل معًا.
كيفية الاستخدام
اختر المضلع الذي تبدأ منه — مربع (مضلع رباعي) أو سداسي (مضلع سداسي). أدخل عدد دورات المضاعفة \(n\)؛ فبعد \(n\) دورة يصبح للمضلع \(4\cdot 2^n\) ضلعًا (في حالة المربع) أو \(6\cdot 2^n\) ضلعًا (في حالة السداسي). ثم حدّد عدد الأرقام التي تريد عرضها. تتوقف الحاسبة مبكرًا بمجرد أن يتطابق الحدّان عند دقة الآلة، لذا يمكنك استخدام قيمة كبيرة لـ \(n\) دون أي قلق.
شرح المعادلة
لنفترض أن \(a\) هو محيط المضلع الخارجي و \(b\) هو محيط المضلع الداخلي. في كل تكرار نطبّق $$a = \frac{2\,a\,b}{a+b},$$ وهو الوسط التوافقي لقيمتَي \(a\) و \(b\) السابقتين، ثم $$b = \sqrt{a\,b},$$ وهو الوسط الهندسي لقيمة \(a\) الجديدة و \(b\) القديمة. يبدأ مسار المربع بـ \(a_0=4\) و \(b_0=2\sqrt{2} \approx 2.8284271\)؛ بينما يبدأ مسار السداسي بـ \(a_0=2\sqrt{3} \approx 3.4641016\) و \(b_0=3\). وفي جميع الأحوال يتحقق الشرط \(b < \pi < a\).
مثال محلول
بالبدء من مربع: \(a_0=4\)، \(b_0=2.82842712\). تعطي الدورة الأولى $$a_1=\frac{2\cdot 4\cdot 2.82842712}{6.82842712}=3.31370850$$ و $$b_1=\sqrt{3.31370850\cdot 2.82842712}=3.06146746.$$ وتعطي الدورة الثانية \(a_2 \approx 3.18259788\) و \(b_2 \approx 3.12144515\). وبعد نحو 25 مضاعفة، ينكمش الحدّان ليصلا إلى \(3.141592653589793\)، وهي القيمة الكاملة لـ π بدقة مضاعفة.
الأسئلة الشائعة
لماذا نختار دائرة قطرها 1؟ لأن محيطها عندئذٍ يساوي π تمامًا، فتصبح محيطات المضلعات تقديرات مباشرة لـ π دون أي حاجة إلى عملية تحجيم.
لماذا تتوقف الحاسبة قبل إتمام \(n\) دورة؟ لأن الحساب القياسي بالدقة المضاعفة يحمل نحو 15–16 رقمًا معنويًا. وبمجرد أن تتطابق \(a\) و \(b\) عند هذه الدقة، لا يمكن لمزيد من الدورات أن يحسّن النتيجة، لذا يتوقف التكرار مبكرًا.
المربع أم السداسي — أيهما أفضل؟ كلاهما يتقارب نحو القيمة نفسها. غير أن السداسي يبدأ أقرب إلى π، لذا يصل إلى دقة معيّنة بعدد أقل قليلًا من المضاعفات.
