Công cụ này làm gì
Công cụ này xấp xỉ hằng số toán học pi (π) theo phương pháp cổ điển của Archimedes. Với một đường tròn có đường kính bằng 1, chu vi của nó đúng bằng π. Một đa giác đều vẽ ôm sát bên ngoài đường tròn (ngoại tiếp) sẽ có chu vi lớn hơn π một chút, trong khi đa giác đều vẽ bên trong đường tròn (nội tiếp) lại có chu vi nhỏ hơn π một chút. Bằng cách liên tục gấp đôi số cạnh, cả hai chu vi sẽ kẹp dần về π từ phía trên và phía dưới.
Cách sử dụng
Chọn đa giác xuất phát — hình vuông (4 cạnh) hoặc hình lục giác (6 cạnh). Nhập số vòng gấp đôi \(n\); sau \(n\) vòng, đa giác sẽ có \(4\cdot 2^n\) cạnh (nhánh hình vuông) hoặc \(6\cdot 2^n\) cạnh (nhánh lục giác). Chọn số chữ số muốn hiển thị. Máy tính sẽ tự dừng sớm ngay khi cận trên và cận dưới khớp nhau tới mức chính xác của máy, nên bạn hoàn toàn có thể nhập \(n\) lớn mà không lo gì cả.
Giải thích công thức
Gọi \(a\) là chu vi đa giác ngoại tiếp và \(b\) là chu vi đa giác nội tiếp. Mỗi bước lặp áp dụng $$a_{k+1} = \frac{2\,a_k\,b_k}{a_k + b_k},$$ tức trung bình điều hòa của \(a\) và \(b\) trước đó, rồi tính $$b_{k+1} = \sqrt{a_{k+1}\,b_k},$$ tức trung bình nhân của \(a\) mới và \(b\) cũ. Nhánh hình vuông bắt đầu với \(a_0=4\) và \(b_0=2\sqrt{2} \approx 2{,}8284271\); nhánh lục giác bắt đầu với \(a_0=2\sqrt{3} \approx 3{,}4641016\) và \(b_0=3\). Tại mọi thời điểm luôn có $$b_k < \pi < a_k.$$
Ví dụ minh họa
Bắt đầu từ hình vuông: \(a_0=4\), \(b_0=2{,}82842712\). Vòng đầu tiên cho $$a_1=\frac{2\cdot 4\cdot 2{,}82842712}{6{,}82842712}=3{,}31370850$$ và $$b_1=\sqrt{3{,}31370850\cdot 2{,}82842712}=3{,}06146746.$$ Vòng thứ hai cho \(a_2 \approx 3{,}18259788\), \(b_2 \approx 3{,}12144515\). Sau khoảng 25 lần gấp đôi, khoảng kẹp thu hẹp về \(3{,}141592653589793\), đúng bằng giá trị của π ở độ chính xác kép đầy đủ.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao lại dùng đường tròn đường kính 1? Vì khi đó chu vi đúng bằng π, nên chu vi các đa giác chính là giá trị xấp xỉ trực tiếp của π mà không cần nhân thêm hệ số tỉ lệ nào.
Tại sao máy lại dừng trước khi đủ \(n\) vòng? Phép tính độ chính xác kép tiêu chuẩn chỉ giữ được khoảng 15–16 chữ số có nghĩa. Khi \(a\) và \(b\) đã bằng nhau ở mức chính xác đó, thêm vòng lặp cũng không cải thiện được kết quả, nên quá trình dừng sớm.
Hình vuông hay lục giác — cái nào tốt hơn? Cả hai đều hội tụ về cùng một giá trị. Lục giác xuất phát gần π hơn, nên đạt được độ chính xác mong muốn với số vòng gấp đôi ít hơn một chút.
