Công cụ này làm gì
Với một đường tròn bán kính r, công cụ này tính độ dài cạnh và diện tích của mọi đa giác đều có thể nội tiếp trong đường tròn đó — từ tam giác cho đến đa giác có số cạnh tùy ý. Máy tính tạo một bảng gồm một dòng cho mỗi số cạnh nguyên n nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất mà bạn chọn, đồng thời hiển thị luôn diện tích của chính đường tròn để bạn thấy diện tích đa giác dần tiến sát tới nó.
Cách sử dụng
Nhập bán kính đường tròn r (dùng đơn vị nào cũng được, miễn nhất quán — cạnh sẽ có cùng đơn vị đó và diện tích sẽ tính theo đơn vị bình phương). Đặt dải số cạnh của đa giác: từ n (ít nhất là 3) đến n (không nhỏ hơn giá trị tối thiểu). Bảng giới hạn tối đa 200 dòng để giữ tốc độ nhanh và dễ đọc. n càng lớn thì đa giác càng ôm sát đường tròn, nên diện tích của nó càng gần với diện tích đường tròn.
Giải thích các công thức
Một đa giác đều n cạnh nội tiếp được chia thành n tam giác cân giống hệt nhau. Mỗi tam giác có hai cạnh bằng bán kính gặp nhau tại tâm với góc ở đỉnh là \(\frac{2\pi}{n}\). Cạnh của đa giác chính là đáy của tam giác:
$$a = 2r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$(dùng nửa góc \(\frac{\pi}{n}\)). Mỗi tam giác có diện tích \(\frac{1}{2}r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\), nên diện tích toàn đa giác là
$$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$Diện tích đường tròn đơn giản là
$$S_c = \pi r^{2}$$Khi \(n \to \infty\), ta có \(S_p \to S_c\) — đây chính là lập luận giới hạn kinh điển để tính diện tích hình tròn.
Ví dụ minh họa
Với \(r = 1\) và một lục giác đều (\(n = 6\)):
$$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0{,}5 = 1{,}0$$$$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60°) = 3\cdot 0{,}8660254 = 2{,}5980762$$Diện tích đường tròn là \(S_c = \pi \approx 3{,}1415927\), nên lục giác đã lấp đầy khoảng 83% diện tích đường tròn.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao n phải lớn hơn hoặc bằng 3? Một đa giác cần tối thiểu ba cạnh; ít hơn thì không thể tạo nên một hình kín có diện tích.
Nên dùng đơn vị nào? Đơn vị nào cũng được — bán kính được dùng trực tiếp mà không cần quy đổi. Nếu r tính bằng cm thì cạnh tính bằng cm và diện tích tính bằng cm².
Vì sao diện tích đa giác lại tiến gần diện tích đường tròn? Mỗi cạnh tăng thêm khiến đa giác xấp xỉ đường tròn tốt hơn, nên với n lớn thì chênh lệch diện tích co dần về không.
