Bu hesaplayıcı ne yapar?
Bu araç, r yarıçaplı bir çember için, o çembere içten çizilebilen tüm düzgün çokgenlerin kenar uzunluğunu ve alanını hesaplar — üçgenden başlayıp istediğiniz kadar çok kenara kadar. Belirlediğiniz en küçük ve en büyük değer arasındaki her tam sayı kenar sayısı n için bir satır içeren bir tablo oluşturur; ayrıca çemberin kendi alanını da gösterir; böylece çokgen alanının bu değere nasıl yaklaştığını adım adım izleyebilirsiniz.
Nasıl kullanılır?
Çemberin yarıçapı r'yi girin (tutarlı olduğu sürece herhangi bir birim kullanabilirsiniz — kenar aynı birimde, alanlar ise o birimin karesi cinsinden çıkar). Çokgen kenar sayısı aralığını belirleyin: n'den (en az 3) n'ye kadar (en az minimum değer kadar). Tablo hızlı ve okunaklı kalsın diye 200 satırla sınırlıdır. n büyüdükçe çokgen çembere daha sıkı sarılır, dolayısıyla alanı çember alanına giderek yaklaşır.
Formüllerin açıklaması
İçten çizilmiş düzgün bir n-gen, n adet birbirinin aynı ikizkenar üçgene ayrılır. Her üçgenin yarıçap uzunluğundaki iki kenarı merkezde \(\frac{2\pi}{n}\) tepe açısıyla birleşir. Çokgenin kenarı bu üçgenin tabanıdır: $$a = 2r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ (yarım açı \(\frac{\pi}{n}\) kullanılır). Her üçgenin alanı \(\frac{1}{2}r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\) olduğundan, çokgenin toplam alanı $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$ olur. Çember alanı ise basitçe $$S_c = \pi r^{2}$$'dir. \(n \to \infty\) iken \(S_p \to S_c\) olur — bu, dairenin alanını bulmak için kullanılan klasik limit yaklaşımıdır.
Çözümlü örnek
\(r = 1\) ve düzgün altıgen (\(n = 6\)) için: $$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0{,}5 = 1{,}0$$ $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60°) = 3\cdot 0{,}8660254 = 2{,}5980762$$ Çember alanı \(S_c = \pi \approx 3{,}1415927\) olduğundan, altıgen daha şimdiden çemberin yaklaşık %83'ünü doldurmaktadır.
Sık sorulan sorular
n neden en az 3 olmalı? Bir çokgenin en az üç kenarı olması gerekir; daha azı bir alanı çevreleyemez.
Hangi birimleri kullanmalıyım? Herhangi birini — yarıçap dönüştürülmeden doğrudan kullanılır. r cm cinsindense, kenar cm, alanlar ise cm² cinsinden olur.
Çokgen alanı neden çember alanına yaklaşır? Eklenen her kenar, çokgeni çembere daha iyi yaklaştırır; bu yüzden büyük n değerlerinde alan farkı sıfıra doğru küçülür.
