Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Geometrik seri, her terimin bir önceki terimle "ortak çarpan" adı verilen sabit bir sayının çarpılmasıyla elde edildiği terimlerin toplamıdır. Dizi şu şekilde görünür: \(a\), \(ar\), \(ar^2\), \(ar^3\), …, \(ar^{n-1}\). Bu araç tek seferde iki sonucu birden hesaplar: dizinin n. terimini ve ilk n teriminin toplamını (kısmi toplam). Bunun için ilk terim a, ortak çarpan r ve terim sayısı n değerlerini kullanır.
Nasıl kullanılır?
İlk terim a değerini girin (pozitif, negatif veya kesirli herhangi bir gerçek sayı olabilir), ardından ortak çarpan r ve terim sayısı n değerlerini yazın (n pozitif bir tam sayı olmalıdır). İsterseniz kaç anlamlı basamağın gösterileceğini belirlemek için bir gösterim hassasiyeti seçebilirsiniz — bu seçim yalnızca ekrandaki görünümü etkiler, hesaplamanın kendisini değiştirmez. Hesapla düğmesine bastığınızda hem n. terim aₙ hem de toplam Sₙ görünür.
Formülün açıklaması
n. terim şu formülle bulunur: $$a_n = a \cdot r^{\,n-1}$$ Toplam için ise r değeri 1'e eşit değilken kapalı formu kullanırız: $$S_n = a \cdot \frac{1 - r^{\,n}}{1 - r}$$ r değeri 1'e eşit olduğunda tüm terimler aynı olur ve payda \((1 - r)\) sıfır olacağından bu formül kullanılamaz; bu özel durumda toplam basitçe $$S_n = n \cdot a$$ olur. Hesaplama aracı, sıfıra bölme hatasını önlemek için otomatik olarak doğru duruma yönlenir.
Çözümlü örnek
a = 1, r = 2, n = 10 değerleri için: 10. terim \(a_{10} = 1 \cdot 2^{9} = 512\) olur. Toplam ise $$S_{10} = 1 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$$ şeklinde hesaplanır.
Sıkça sorulan sorular
Bu araç sonsuz toplamı hesaplar mı? Hayır. Her zaman tam olarak n terimin sonlu kısmi toplamını hesaplar. \(|r| < 1\) olduğunda n büyüdükçe kısmi toplam \(a/(1-r)\) değerine yaklaşır, ancak bu araç hiçbir zaman sonsuz sayıda terim olduğunu varsaymaz.
Ortak çarpan negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir r değeri terimlerin işaretinin sırayla değişmesine yol açar ve formül yine de geçerliliğini korur.
Peki r = 0 ise ne olur? Bu durumda yalnızca ilk terim a kadar katkı sağlar, sonraki tüm terimler sıfır olur. Dolayısıyla \(S_n = a\) olur; aₙ ise yalnızca n = 1 iken a'ya eşittir (aksi halde 0'dır).
