이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
등비급수란 각 항이 바로 앞 항에 일정한 수(공비)를 곱해서 만들어지는 수들의 합을 말합니다. 수열은 \(a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ \ldots,\ ar^{n-1}\) 형태로 이어집니다. 이 계산기는 첫째항 a, 공비 r, 항의 개수 n만 입력하면 수열의 제n항과 첫 n개 항의 합(부분합)을 동시에 구해 줍니다.
사용 방법
첫째항 a(양수·음수·분수 등 어떤 실수든 가능), 공비 r, 항의 개수 n(양의 정수)을 입력하세요. 필요하면 표시 정밀도를 선택해 몇 자리의 유효숫자까지 보여 줄지 조절할 수 있습니다. 이 설정은 화면 표시에만 적용될 뿐 실제 계산값에는 영향을 주지 않습니다. 계산 버튼을 누르면 제n항 \(a_n\)과 합 \(S_n\)을 함께 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
제n항은 다음과 같습니다.
$$a_n = \text{a} \cdot \text{r}^{\,\text{n} - 1}$$합의 경우 r이 1이 아닐 때는 닫힌 형태의 공식을 사용합니다.
$$S_n = \text{a} \cdot \frac{1 - \text{r}^{\,\text{n}}}{1 - \text{r}}$$r이 1이면 모든 항이 똑같아져 분모 \((1 - r)\)이 0이 되므로, 이 특수한 경우에는 합이 단순히 다음과 같이 됩니다.
$$S_n = \text{n} \cdot \text{a}$$계산기는 0으로 나누는 일을 피하기 위해 두 경우를 자동으로 구분해 처리합니다.
계산 예시
a = 1, r = 2, n = 10인 경우, 제10항은 다음과 같습니다.
$$a_n = 1 \cdot 2^{9} = 512$$합은 다음과 같이 됩니다.
$$S_n = 1 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$$자주 묻는 질문
무한합도 계산해 주나요? 아닙니다. 이 계산기는 항상 정확히 n개 항의 유한한 부분합만 계산합니다. \(|r| < 1\)일 때 n이 커질수록 부분합은 \(a/(1-r)\)에 점점 가까워지지만, 이 도구가 항의 개수를 무한으로 가정하는 일은 결코 없습니다.
공비가 음수여도 되나요? 네, 가능합니다. r이 음수이면 각 항의 부호가 번갈아 바뀌지만, 공식은 그대로 유효합니다.
r = 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 첫째항만 a로 기여하고 나머지 항은 모두 0이 됩니다. 따라서 합은 \(S_n = a\)이고, 제n항 \(a_n\)은 n = 1일 때만 a이며 그 외에는 0이 됩니다.
