이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 시그마 기호로 표현된 부분합, 즉 i = m부터 n까지의 \( \sum f(i) \)를 계산합니다. 하한 m과 상한 n 사이의 모든 정수 인덱스(양 끝 포함)에 대해 선택한 함수 값을 차례로 더해 줍니다. 부분합은 대수, 미적분, 컴퓨터 과학 전반에서 수열의 누적 합이 필요할 때마다 등장하는 핵심 개념입니다.
사용 방법
먼저 함수 형태를 고릅니다. \( i \)(자연수), \( i^2 \)(제곱수), \( i^3 \)(세제곱수), 일차식 \( a \cdot i + b \), 등비 형태 \( a \cdot r^i \), 그리고 조화수열 \( \frac{1}{i} \) 중에서 선택하세요. 그다음 하한 인덱스 m과 상한 인덱스 n을 입력합니다. 일차식과 등비 형태를 선택한 경우에는 계수 \( a \), \( b \)와 공비 \( r \)을 함께 입력하면 됩니다. 계산기는 전체 합, 더한 항의 개수, 그리고 항의 평균값을 알려 줍니다.
공식 풀이
$$ S = \sum_{i=\text{m}}^{\text{n}} f(i) $$라는 식은 다음을 의미합니다. i = m에서 시작해 \( f(i) \)를 계산하고, i = m+1로 넘어가며, i = n에 이를 때까지 모든 결과를 더한다는 뜻입니다. 항의 개수는 \( n - m + 1 \)입니다. 예를 들어 제곱수의 합은 \( f(i) = i^2 \)를 사용하는데, m = 1일 때 \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)이라는 닫힌 형태(공식)로 간단히 구할 수 있습니다.
예제로 확인하기
1부터 5까지 제곱수의 합: $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 $$ 항은 5개이고 평균은 11입니다.
자주 묻는 질문
양 끝값이 모두 포함되나요? 네, i = m과 i = n을 모두 포함하여 더합니다.
n이 m보다 작으면 어떻게 되나요? 합이 비어 있는 것으로 간주되어 0을 반환합니다.
인덱스가 음수일 수도 있나요? 네 — \( n \ge m \)이기만 하면 m과 n은 어떤 정수든 가능합니다. 단, 조화수열 \( \frac{1}{i} \)에서는 0으로 나누는 것을 피하기 위해 i = 0인 항은 건너뜁니다.
