Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет частичную сумму ряда, записанную в сигма-нотации: \( \sum_{i=\text{m}}^{\text{n}} f(i) \) для функции f(i). Он складывает значения выбранной функции по всем целым индексам от нижней границы m до верхней границы n включительно. Частичные суммы встречаются в алгебре, математическом анализе и информатике всякий раз, когда нужно подсчитать накопительный итог последовательности.
Как пользоваться
Выберите вид функции: \(i\) (натуральные числа), \(i^2\) (квадраты), \(i^3\) (кубы), линейную форму \(\text{a}\,i + \text{b}\), геометрическую \(\text{a} \cdot \text{r}^{\,i}\) или гармоническую \(\frac{1}{i}\). Укажите нижний индекс m и верхний индекс n. Для линейной и геометрической форм задайте коэффициенты a, b и знаменатель r. Калькулятор покажет итоговую сумму, количество слагаемых и среднее значение слагаемого.
Разбор формулы
Выражение $$ S = \sum_{i=\text{m}}^{\text{n}} f(i) $$ означает простое правило: начните с i = m, вычислите f(i), перейдите к i = m+1 и продолжайте до i = n, складывая все результаты. Количество слагаемых равно \(n - m + 1\). Например, сумма квадратов использует \(f(i) = i^2\), для которой при m = 1 есть готовая формула \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
Пример с решением
Сумма квадратов от 1 до 5: $$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 $$ всего 5 слагаемых, среднее значение 11.
Частые вопросы
Учитываются ли обе границы? Да, в сумму входят и i = m, и i = n.
Что будет, если n меньше m? Сумма считается пустой и равна 0.
Может ли индекс быть отрицательным? Да — m и n могут быть любыми целыми числами, лишь бы выполнялось \(n \geq m\). Для гармонического ряда \(\frac{1}{i}\) слагаемое при i = 0 пропускается, чтобы избежать деления на ноль.
