Что считает этот калькулятор
Инструмент анализирует любую синусоидальную функцию, записанную в стандартном виде \(y = a\cdot\sin(bx - c) + d\) (для косинуса всё работает точно так же). По четырём коэффициентам a, b, c и d он мгновенно выдаёт четыре ключевых преобразования волны: амплитуду, период, фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, а заодно и частоту.
Как пользоваться
Вводите коэффициенты ровно в том виде, в каком они стоят в функции. Например, для \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\) задайте a = 2, b = 3, c = 1, d = 0. Калькулятор понимает и отрицательные значения, и дроби. Если функция записана как \(a\cdot\sin(b(x - h))\), просто раскройте скобки, чтобы получить \(c = b\cdot h\), и уже это значение подставьте в поле c.
Разбираем формулу
Амплитуда равна \(|a|\) — это максимальное отклонение графика вверх или вниз от средней линии. Период равен \(\frac{2\pi}{|b|}\) — длина одного полного цикла по горизонтали; чем больше \(|b|\), тем сильнее волна сжимается. Фазовый сдвиг равен \(\frac{c}{b}\) — это горизонтальное смещение (положительное значение сдвигает график вправо). Вертикальный сдвиг \(d\) поднимает или опускает среднюю линию. Частота — величина, обратная периоду.
Пример с решением
Возьмём \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\). Амплитуда $$\text{амплитуда} = |2| = 2$$ Период $$\text{период} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0944$$ Фазовый сдвиг $$\text{фазовый сдвиг} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333 \;(\text{вправо})$$ Вертикальный сдвиг = 0. Значит, волна колеблется на 2 единицы относительно оси x, проходит полный цикл примерно за 2,09 единицы и смещена вправо примерно на треть единицы.
Частые вопросы
Подходит ли он для косинуса? Да. Амплитуда, период, фазовый и вертикальный сдвиг для \(y = a\cdot\cos(bx - c) + d\) вычисляются точно так же.
Почему фазовый сдвиг положительный, когда c положительно? В записи \(bx - c\) сдвиг \(\frac{c}{b}\) перемещает график вправо. Если в вашей функции стоит \(bx + c\), введите c со знаком минус.
Что будет, если b = 0? Период, равный 0, для волны не имеет смысла, поэтому, чтобы не делить на ноль, калькулятор возвращает 0 — проверьте этот коэффициент.
Определение ключевых терминов
- Амплитуда \((|a|)\)
- Половина вертикального расстояния между максимумом и минимумом волны — высота пика над средней линией. Она всегда равна абсолютному значению \(a\); отрицательное значение \(a\) отражает кривую относительно средней линии, но не изменяет амплитуду.
- Период \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)
- Горизонтальная длина одного полного цикла. Большее \(|b|\) сжимает волну (более короткий период); меньшее \(|b|\) растягивает её (более длинный период).
- Фазовый сдвиг \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)
- Горизонтальное смещение кривой. Положительное значение смещает график вправо, отрицательное значение влево. Обратите внимание, что это \(c/b\), а не просто \(c\).
- Вертикальный сдвиг / средняя линия \((d)\)
- Горизонтальная линия \(y = d\), относительно которой колеблется волна. График смещается вверх для \(d>0\) и вниз для \(d<0\).
- Частота \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)
- Количество полных циклов на единицу \(x\); величина, обратная периоду. В физических контекстах, где \(x\) — это время, она измеряется в циклах в секунду (герцах).
- Угловая частота \((b)\)
- Коэффициент при \(x\), выраженный в радианах на единицу \(x\). Он связан с обычной частотой соотношением \(b = 2\pi f\) и определяет, с какой скоростью аргумент синуса увеличивается.
- Коэффициенты \(a, b, c, d\)
- В \(y = a\sin(bx - c)+d\): \(a\) устанавливает вертикальное растяжение и амплитуду, \(b\) устанавливает горизонтальное сжатие (период/частота), \(c\) управляет горизонтальным фазовым сдвигом через \(c/b\), а \(d\) устанавливает вертикальное положение средней линии.
Дополнительные решённые примеры
Пример 1: \(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)
Хотя записано с косинусом, применяются те же правила преобразования. Приведём его к виду \(a\cos(bx - c)+d\), переписав \(2x+\pi\) как \(2x-(-\pi)\), так что \(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\).
- Амплитуда: \(|a| = |-4| = 4\). Отрицательный знак отражает кривую, но амплитуда равна 4.
- Период: \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\).
- Фазовый сдвиг: \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\), то есть \(\tfrac{\pi}{2}\) влево.
- Вертикальный сдвиг: \(d = 1\); средняя линия — \(y = 1\).
Пример 2: \(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)
Здесь \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\).
- Амплитуда: \(|a| = 2\).
- Период: \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566\).
- Фазовый сдвиг: \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\) вправо.
- Вертикальный сдвиг: \(d = -3\); средняя линия — \(y = -3\).
Пример 3: \(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)
Случай с дробной амплитудой, где \(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\).
- Амплитуда: \(|a| = \tfrac34 = 0.75\).
- Период: \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
- Фазовый сдвиг: \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524\) вправо.
- Вертикальный сдвиг: \(d = 0\); средняя линия — это ось \(x\).
Вы можете проверить единственное значение на выходе этой кривой — например, при \(x=\tfrac{\pi}{2}\), \(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0.
