Что такое серединный перпендикуляр?
Серединный перпендикуляр отрезка — это прямая, которая проходит через середину отрезка и пересекает его под прямым углом (90°). Любая точка на этой прямой одинаково удалена от обоих концов отрезка, поэтому она играет ключевую роль в геометрии, в координатных доказательствах, при поиске центра окружности и в построениях треугольников (именно так находят центр описанной окружности).
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты двух концов отрезка — \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\). Калькулятор выдаст середину отрезка, угловой коэффициент исходного отрезка, перпендикулярный угловой коэффициент, точку пересечения с осью Y и полное уравнение серединного перпендикуляра в виде \(y = kx + b\).
Разбор формулы
Сначала находим середину \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\). Затем вычисляем угловой коэффициент отрезка \(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Перпендикулярный угловой коэффициент равен отрицательной обратной величине: \(m_p = -\dfrac{1}{m}\). Наконец используем уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту, проходящей через середину:
$$y - m_y = -\frac{1}{m}\left(x - m_x\right)$$а затем приводим его к виду \(y = m_p x + b\). Особые случаи: если отрезок вертикальный (\(x_1=x_2\)), перпендикуляр будет горизонтальным (\(y = m_y\)); если отрезок горизонтальный (\(y_1=y_2\)), перпендикуляр будет вертикальным (\(x = m_x\)).
Пример с решением
Точки (1, 2) и (5, 6). Середина = (3, 4). Угловой коэффициент отрезка = \(\dfrac{6-2}{5-1} = 1\). Перпендикулярный угловой коэффициент = \(-1\). Уравнение: \(y - 4 = -1(x - 3) \rightarrow y = -x + 7\). Точка пересечения с осью Y равна 7.
Частые вопросы
А если обе точки совпадают? Одна точка не задаёт отрезок, поэтому единственного серединного перпендикуляра не существует — введите две разные точки.
Почему перпендикулярный угловой коэффициент — это отрицательная обратная величина? Две прямые перпендикулярны, когда произведение их угловых коэффициентов равно \(-1\), поэтому \(m_p = -\dfrac{1}{m}\).
Может ли ответом быть вертикальная прямая? Да. Когда отрезок горизонтальный, серединный перпендикуляр вертикален и записывается как \(x = \text{const}\), а не как \(y = kx + b\).
