Калькулятор логарифмических уравнений

Введите расчет

Что нужно найти? y (the logarithm) x (the argument) b (the base)

Основание (b)

Аргумент (x)

Логарифм (y)

Equation: log_b(x) = y  ⇔  x = b^y. Leave the unknown blank; fill the other two.

Результатов

Solved for y

3

y = log_b(x)

Основание (b)	2
Аргумент (x)	8
Логарифм (y)	0

Что такое калькулятор логарифмических уравнений?

Этот инструмент решает базовое логарифмическое уравнение \(\log_{b}(x) = y\), которое равносильно показательной форме \(x = b^{y}\). Если известны любые две из трёх величин — основание b, аргумент x или значение логарифма y, — калькулятор находит третью, недостающую. Он работает с любым положительным основанием (кроме 1) и пригодится в алгебре, при расчётах экспоненциального роста и затухания, для определения pH в химии, уровня в децибелах и при оценке сложности алгоритмов в информатике.

Как пользоваться калькулятором

С помощью переключателей выберите, что именно нужно найти, а затем введите два других значения. Поле с неизвестной величиной оставьте пустым. Нажмите «Рассчитать», чтобы получить результат и полный набор значений, удовлетворяющих уравнению.

Разбираем формулу

Уравнение \(\log_{b}(x) = y\) можно записать в трёх формах:

Найти y: $$y = \log_{b}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$ (правило замены основания).
Найти x: $$x = b^{y}$$Найти b: $$b = x^{\frac{1}{y}}$$

Правило замены основания позволяет калькулятору вычислять логарифмы по любому основанию через натуральный логарифм, ведь большинство устройств умеют считать только \(\ln\) и \(\log_{10}\).

График \(y = \log_{b}(x)\): каждая точка связывает аргумент x с его логарифмом y.

Логарифмическое уравнение \(\log_{b}(x) = y\) эквивалентно показательной форме \(x = b^{y}\).

Пример с решением

Пусть \(b = 2\) и \(x = 8\), и нужно найти y. Тогда $$y = \log_{2}(8) = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2{,}0794}{0{,}6931} = 3$$ Проверка: \(2^{3} = 8\). ✓ Если же известны \(b = 2\) и \(y = 3\), а найти нужно x, то получим \(x = 2^{3} = 8\).

Частые вопросы

Почему основание должно быть положительным и не равным 1? Логарифм определён только для положительного основания, отличного от 1, а аргумент x обязательно должен быть положительным. При основании 1 выражение \(b^{y}\) всегда равнялось бы 1, поэтому логарифм просто не существует.

Можно ли вычислять натуральный или десятичный логарифм? Да. Для натурального логарифма (\(\ln\)) используйте основание e (≈2,71828), а для десятичного (\(\log\)) — основание 10.

Что будет, если y = 0 при поиске основания? Формула \(b = x^{\frac{1}{y}}\) требует, чтобы \(y \neq 0\). При \(y = 0\) основание не определено, ведь \(b^{0} = 1\) для любого основания.