Что делает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет цепную (непрерывную) дробь с постоянными членами — дробь вида \(f = b_0 + a/(b + a/(b + a/(b + \cdots)))\), где все частные числители равны одному и тому же значению \(a\) (ваше \(a_n\)), а все частные знаменатели равны одному и тому же значению \(b\) (ваше \(b_n\)). Начальный член \(b_0\) стоит вне самой дроби. Это чисто математический инструмент, и работает он одинаково в любой стране.
Как пользоваться
Введите начальный член \(b_0\), постоянный числитель \(a_n\), постоянный знаменатель \(b_n\) и число вложенных уровней \(n\) (до 1000). Калькулятор вернёт усечённое значение \(f_n\) и таблицу первых подходящих дробей \(f_1, f_2, f_3 \ldots\), чтобы вы могли наблюдать, как они сходятся к пределу.
Разбор формулы
Значение вычисляется по численно устойчивой обратной (снизу вверх) рекуррентной схеме. Начинаем с самого глубокого уровня: \(t = b\). Затем для \(k\) от \(n\) до 2 полагаем \(t = b + a/t\). Наконец, \(f_n = b_0 + a/t\). Для таблицы подходящих дробей используется классическая рекуррентность Уоллиса: $$h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2}$$ и $$k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2},$$ откуда \(f_m = h_m/k_m\). Если дробь сходится, её предел равен $$b_0 + \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2}.$$
Разобранный пример
Возьмём \(b_0 = 1\), \(a_n = 1\), \(b_n = 2\), \(n = 10\). Обратная рекуррентность даёт \(t = 2 \to 2.5 \to 2.4 \to 2.41667 \to \cdots \to 2.41421\), и $$f_{10} = 1 + \frac{1}{t} \approx 1.41421356$$ — это квадратный корень из 2. Действительно, $$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}.$$
Частые вопросы
Что если дробь не сходится? Если промежуточный знаменатель окажется в точности равен 0 или \(b^2 + 4a < 0\), значение может быть не определено или колебаться; в таком случае калькулятор выводит «не определено».
Зачем нужны постоянные \(a_n\) и \(b_n\)? Так получаются многие известные константы: \(a=1\), \(b=1\) даёт золотое сечение \(1.6180339887\); \(a=1\), \(b=2\) даёт \(\sqrt{2}\). Постоянный «хвост» имеет простой квадратичный предел.
Насколько точно значение \(f_n\)? При постоянных членах сходимость геометрическая, поэтому уже несколько десятков членов обычно дают полную точность двойной точности (double).
