这个计算器能做什么
本工具用于计算各项为常数的连分数，其形式为 \(f = b_0 + \cfrac{a}{b + \cfrac{a}{b + \cfrac{a}{b + \cdots}}}\)，其中每一层的部分分子都等于同一个值 \(a\)（即你输入的 \(a_n\)），每一层的部分分母都等于同一个值 \(b\)（即你输入的 \(b_n\)）。首项 \(b_0\) 位于连分数之外。这是一个纯数学工具，在任何地区使用结果都完全一致。
使用方法
依次输入首项 \(b_0\)、常数分子 \(a_n\)、常数分母 \(b_n\)，以及嵌套层数 \(n\)（最多 1000 层）。计算器会返回截断到第 \(n\) 层的近似值 \(f_n\)，并给出前几项渐近分数 \(f_1\)、\(f_2\)、\(f_3\) …… 的表格，让你直观地看到它们如何逐步逼近极限。
公式详解
计算采用数值稳定的自底向上（反向）递推。从最内层开始令 \(t = b\)；接着让 \(k\) 从 \(n\) 递减到 2，每一步取 \(t = b + \frac{a}{t}\)；最后得到 \(f_n = b_0 + \frac{a}{t}\)。渐近分数表则使用经典的沃利斯（Wallis）递推： $$h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2}, \quad k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2}$$ 于是 \(f_m = \frac{h_m}{k_m}\)。当连分数收敛时，其极限等于 $$b_0 + \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2}.$$
实例演算
取 \(b_0 = 1\)、\(a_n = 1\)、\(b_n = 2\)、\(n = 10\)。反向递推依次为 \(t = 2 \to 2.5 \to 2.4 \to 2.41667 \to \cdots \to 2.41421\)，于是 $$f_{10} = 1 + \frac{1}{t} \approx 1.41421356,$$ 正好是 2 的平方根。也就是说 $$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}.$$
常见问题
如果不收敛会怎样？ 如果某个中间分母恰好等于 0，或者 \(b^2 + 4a < 0\)，结果可能无定义或来回振荡；此时计算器会显示“无定义”。
为什么 \(a_n\) 和 \(b_n\) 要取常数？ 许多著名常数都源于这种形式：\(a=1\)、\(b=1\) 得到黄金比例 \(1.6180339887\)；\(a=1\)、\(b=2\) 得到 \(\sqrt{2}\)。常数尾部对应一个简单的二次方程极限。
\(f_n\) 的精度如何？ 对于常数项，连分数呈几何级数收敛，因此通常只需几十项即可达到双精度浮点的完整精度。
