ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بحساب قيمة كسر مستمر بحدود ثابتة، أي كسر مستمر على الصورة \( f = b_0 + a/(b + a/(b + a/(b + \cdots))) \)، حيث يساوي كل بسط جزئي القيمة نفسها \(a\) (أي \(a_n\))، ويساوي كل مقام جزئي القيمة نفسها \(b\) (أي \(b_n\)). أما الحد الأول \(b_0\) فيقع خارج الكسر. وهي أداة رياضية بحتة تعمل بالطريقة ذاتها في كل مكان.
كيفية الاستخدام
أدخل الحد الابتدائي b0، والبسط الثابت a_n، والمقام الثابت b_n، وعدد المستويات المتداخلة n (حتى 1000). تُعيد الحاسبة القيمة المقطوعة \(f_n\) وجدولاً بالتقاربات الأولى \(f_1\) و\(f_2\) و\(f_3\) ... كي تراقب كيف تستقر هذه القيم تدريجياً عند النهاية.
شرح الصيغة
تُحسب القيمة باستخدام تكرار خلفي (من الأسفل إلى الأعلى) يتميز بالاستقرار العددي. الصيغة العامة هي
$$f = \text{b}_0 + \cfrac{a_n}{b_n + \cfrac{a_n}{b_n + \cfrac{a_n}{b_n + \cdots}}}$$نبدأ من المستوى الأعمق بوضع \(t = b\). ثم من أجل \(k\) من \(n\) نزولاً حتى 2 نضع \(t = b + a/t\). وأخيراً نحصل على \(f_n = b_0 + a/t\). أما جدول التقاربات فيعتمد على تكرار واليس الكلاسيكي: \(h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2}\) و\(k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2}\)، فينتج \(f_m = h_m/k_m\). وعندما يتقارب الكسر، تساوي نهايته \(b_0 + (-b + \sqrt{b^2 + 4a})/2\).
مثال محلول
لنأخذ \(b_0 = 1\) و\(a_n = 1\) و\(b_n = 2\) و\(n = 10\). يسير التكرار الخلفي على النحو \(t = 2 \leftarrow 2.5 \leftarrow 2.4 \leftarrow 2.41667 \leftarrow \cdots \leftarrow 2.41421\)، فنحصل على \(f_{10} = 1 + 1/t \approx 1.41421356\)، وهو الجذر التربيعي للعدد 2. وبالفعل فإن $$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو لم يتقارب الكسر؟ إذا أصبح أحد المقامات الوسيطة مساوياً للصفر تماماً، أو إذا كان \(b^2 + 4a < 0\)، فقد تكون القيمة غير معرّفة أو متذبذبة؛ وفي هذه الحالة تُظهر الحاسبة كلمة «غير معرّف».
لماذا نستخدم a_n وb_n ثابتين؟ تنشأ كثير من الثوابت الشهيرة بهذه الطريقة: فالقيمتان \(a=1\) و\(b=1\) تعطيان النسبة الذهبية 1.6180339887، والقيمتان \(a=1\) و\(b=2\) تعطيان \(\sqrt{2}\). فالذيل الثابت يؤدي إلى نهاية تربيعية بسيطة.
ما مدى دقة f_n؟ مع الحدود الثابتة يكون التقارب هندسياً، لذا تكفي عادةً بضع عشرات من الحدود لبلوغ الدقة الكاملة للأعداد ذات الدقة المزدوجة.
