이 계산기의 기능
이 도구는 모든 항이 일정한 연분수의 값을 계산합니다. 즉 \(f = b_0 + \cfrac{a}{b + \cfrac{a}{b + \cfrac{a}{b + \cdots}}}\) 형태의 연분수로, 부분 분자가 모두 같은 값 \(a\)(여기서는 \(a_n\)), 부분 분모가 모두 같은 값 \(b\)(여기서는 \(b_n\))인 경우를 다룹니다. 첫 항 \(b_0\)는 분수 바깥에 놓입니다. 순수 수학 도구이므로 국가나 지역에 상관없이 동일하게 동작합니다.
사용 방법
초기 항 \(b_0\), 상수 분자 \(a_n\), 상수 분모 \(b_n\), 그리고 중첩 단계 수 \(n\)(최대 1000)을 입력하세요. 계산기는 절단된 값 \(f_n\)과 함께 초기 근사분수 \(f_1, f_2, f_3 \ldots\)의 표를 보여주므로, 값이 극한으로 어떻게 수렴하는지 한눈에 확인할 수 있습니다.
공식 설명
값은 수치적으로 안정적인 후진(아래에서 위로 올라가는) 점화식으로 계산합니다. 가장 안쪽 단계에서 \(t = b\)로 시작합니다. 그다음 \(k\)를 \(n\)부터 \(2\)까지 줄여가며 \(t = b + a/t\)로 갱신합니다. 마지막으로 \(f_n = b_0 + a/t\)가 됩니다. 근사분수 표는 고전적인 월리스(Wallis) 점화식 \(h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2}\), \(k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2}\)를 사용하며, \(f_m = h_m/k_m\)로 구합니다. 연분수가 수렴할 경우 극한값은 다음과 같습니다.
$$f = b_0 + \cfrac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2}$$
예제 풀이
\(b_0 = 1\), \(a_n = 1\), \(b_n = 2\), \(n = 10\)인 경우를 살펴봅시다. 후진 점화식은 \(t = 2 \to 2.5 \to 2.4 \to 2.41667 \to \cdots \to 2.41421\)로 진행되며, \(f_{10} = 1 + 1/t \approx 1.41421356\)이 됩니다. 이는 바로 2의 제곱근입니다. 실제로 다음이 성립합니다.
$$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}$$
자주 묻는 질문
수렴하지 않으면 어떻게 되나요? 중간 단계의 분모가 정확히 0이 되거나 \(b^2 + 4a < 0\)인 경우, 값이 정의되지 않거나 진동할 수 있습니다. 이때 계산기는 "정의되지 않음"으로 표시합니다.
왜 \(a_n\)과 \(b_n\)을 상수로 두나요? 유명한 상수 중 상당수가 이런 방식으로 나타나기 때문입니다. \(a=1\), \(b=1\)이면 황금비 \(1.6180339887\)이 되고, \(a=1\), \(b=2\)이면 \(\sqrt{2}\)가 됩니다. 꼬리 부분이 일정하면 극한이 간단한 이차식으로 정해집니다.
\(f_n\)은 얼마나 정확한가요? 항이 일정한 경우 수렴 속도가 기하급수적이므로, 보통 수십 개의 항만으로도 배정밀도(double) 한계까지 도달합니다.
