Công cụ này làm gì
Công cụ này tính giá trị của một phân số liên tục với các số hạng không đổi: phân số liên tục có dạng \(f = b_0 + a/(b + a/(b + a/(b + \cdots)))\), trong đó mọi tử số riêng phần đều bằng cùng một giá trị \(a\) (chính là \(a_n\) của bạn) và mọi mẫu số riêng phần đều bằng cùng một giá trị \(b\) (chính là \(b_n\) của bạn). Số hạng dẫn đầu \(b_0\) nằm bên ngoài phân số. Đây là công cụ toán học thuần túy nên cho kết quả như nhau ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Nhập số hạng ban đầu b0, tử số không đổi a_n, mẫu số không đổi b_n, và số tầng lồng nhau n (tối đa 1000). Máy tính sẽ trả về giá trị cắt cụt \(f_n\) cùng một bảng các giá trị hội tụ ban đầu \(f_1, f_2, f_3 \ldots\) để bạn quan sát chúng dần ổn định về giới hạn.
Giải thích công thức
Giá trị được tính bằng phép truy hồi lùi (từ dưới lên) ổn định về mặt số học.
$$f = \text{b}_0 + \cfrac{a_n}{b_n + \cfrac{a_n}{b_n + \cfrac{a_n}{b_n + \cdots}}}$$Bắt đầu ở tầng trong cùng với \(t = b\). Sau đó, với \(k\) chạy từ \(n\) xuống 2, đặt \(t = b + a/t\). Cuối cùng \(f_n = b_0 + a/t\). Trong khi đó, bảng các giá trị hội tụ dùng phép truy hồi Wallis cổ điển \(h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2}\) và \(k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2}\), cho ra \(f_m = h_m/k_m\). Khi phân số hội tụ, giới hạn bằng \(b_0 + (-b + \sqrt{b^2 + 4a}) / 2\).
Ví dụ minh họa
Lấy \(b_0 = 1\), \(a_n = 1\), \(b_n = 2\), \(n = 10\). Phép truy hồi lùi chạy \(t = 2 \to 2.5 \to 2.4 \to 2.41667 \to \cdots \to 2.41421\), và $$f_{10} = 1 + \frac{1}{t} \approx 1.41421356,$$ chính là căn bậc hai của 2. Quả thật \(1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu nó không hội tụ thì sao? Nếu một mẫu số trung gian bằng đúng 0, hoặc \(b^2 + 4a < 0\), thì giá trị có thể không xác định hoặc dao động; trong trường hợp đó máy tính sẽ báo "không xác định".
Vì sao a_n và b_n lại không đổi? Nhiều hằng số nổi tiếng xuất hiện theo cách này: \(a=1\), \(b=1\) cho tỉ lệ vàng \(1.6180339887\); \(a=1\), \(b=2\) cho \(\sqrt{2}\). Một phần đuôi không đổi sẽ có giới hạn là một nghiệm bậc hai đơn giản.
f_n chính xác đến đâu? Với các số hạng không đổi, tốc độ hội tụ là cấp số nhân, nên chỉ vài chục số hạng thường đã đạt độ chính xác đầy đủ của số thực dấu phẩy động kép.
