Công cụ này làm gì
Công cụ này tính giá trị của một phân số liên tục suy rộng (dạng giải tích) có dạng \( f = a_0/(b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + \ldots))) \) và liệt kê các giá trị hội tụ liên tiếp \( f_0, f_1, f_2, \ldots \) cho tới số số hạng mà bạn chọn. Tử số riêng phần \( a_n \) và mẫu số riêng phần \( b_n \) được nhập dưới dạng biểu thức đại số theo chỉ số \( n \), nhờ vậy bạn có thể tái tạo nhiều khai triển kinh điển: pi, \( 1/(e-1) \), logarit tự nhiên của căn hai, căn hai và vô số trường hợp khác. Đây là một công cụ toán học thuần túy, không gắn với đơn vị đo hay quy định của quốc gia nào.
Cách sử dụng
Nhập tử số ban đầu \( a_0 \) và mẫu số ban đầu \( b_0 \) dưới dạng số. Nhập tử số thứ \( n \) là \( a_n \) và mẫu số thứ \( n \) là \( b_n \) dưới dạng biểu thức theo biến \( n \) — ví dụ "n^2", "n+1", "-n^2", "3(2n+1)" hoặc "2". Công cụ hỗ trợ phép nhân ngầm khi đặt số ngay cạnh \( n \), cùng các phép \( + - * / \,\hat{}\, \), dấu ngoặc, dấu trừ đơn và các hàm như sqrt, exp, ln, sin, cos. Hãy chọn số số hạng cần tính (từ 1 đến 1000) và số chữ số hiển thị. Con số lớn chính là giá trị hội tụ cuối cùng; bảng bên dưới cho thấy giá trị dần ổn định ra sao.
Giải thích công thức
Để tính giá trị hội tụ thứ \( n \) là \( f_n \), công cụ tính từ số hạng sâu nhất được giữ lại ra ngoài. Đặt phần đuôi \( t = 0 \), sau đó với \( k = n, n-1, \ldots, 1 \) cập nhật \( t = a_k / (b_k + t) \). Cuối cùng \( f_n = a_0 / (b_0 + t) \). Cách tính từ dưới lên này ổn định về mặt số học, và một giá trị epsilon nhỏ sẽ được thay vào mỗi khi mẫu số đúng bằng 0 (kỹ thuật bảo vệ kiểu Lentz cải tiến).
Ví dụ minh họa: khai triển của pi
Với \( a_0 = 4 \), \( b_0 = 1 \), \( a_n = n^2 \), \( b_n = 2n+1 \) và 6 số hạng, bạn thu được phân số liên tục nổi tiếng của pi. Tính từ dưới lên tại \( n = 6 \): \( t \) bắt đầu bằng 0; \( k=6 \) cho $$36/13 = 2{,}769231$$ \( k=5 \) cho $$25/13{,}769231 = 1{,}815651$$ \( k=4 \) cho \( 1{,}479323 \); \( k=3 \) cho \( 1{,}061407 \); \( k=2 \) cho \( 0{,}659912 \); \( k=1 \) cho \( 0{,}273156 \). Khi đó $$f_6 = 4/(1 + 0{,}273156) = 3{,}141962,$$ đã rất gần với \( \text{pi} = 3{,}141593 \). Tăng số số hạng để hội tụ chính xác hơn.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao giá trị không khớp chính xác với hằng số? Mỗi giá trị hội tụ chỉ là một phần bị cắt cụt. Càng nhiều số hạng thì càng chính xác, tuy nhiên độ chính xác kép (double-precision) chỉ cho khoảng 15 chữ số có ý nghĩa.
Nếu phân số của tôi phân kỳ thì sao? Một số biểu thức dao động hoặc phân kỳ. Bảng giá trị hội tụ giúp bạn quan sát diễn biến và tự đánh giá xem giới hạn có tồn tại hay không.
Còn ví dụ nào khác để thử? \( 1/(e-1) \): \( a_0=1 \), \( b_0=1 \), \( a_n=n+1 \), \( b_n=n+1 \). Căn hai: \( a_0=2 \), \( b_0=1 \), \( a_n=1 \), \( b_n=2 \). Logarit tự nhiên của căn hai: \( a_0=1 \), \( b_0=3 \), \( a_n=-n^2 \), \( b_n=3(2n+1) \).
