À quoi sert ce calculateur
Cet outil évalue une fraction continue généralisée (analytique) de la forme \( f = a_0/(b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + \ldots))) \) et liste ses réduites successives \( f_0, f_1, f_2, \ldots \) jusqu'au nombre de termes que vous choisissez. Les numérateurs partiels \( a_n \) et les dénominateurs partiels \( b_n \) se saisissent sous forme d'expressions algébriques en fonction de l'indice de terme \( n \) : vous pouvez ainsi reproduire de nombreux développements classiques — pi, \( 1/(e-1) \), le logarithme népérien de racine de deux, racine de deux, et bien d'autres. C'est un outil de mathématiques pures, sans unités ni cadre national particulier.
Comment l'utiliser
Saisissez le numérateur initial \( a_0 \) et le dénominateur initial \( b_0 \) sous forme de nombres. Entrez le n-ième numérateur \( a_n \) et le n-ième dénominateur \( b_n \) comme des expressions de la variable \( n \) — par exemple « \( n^2 \) », « \( n+1 \) », « \( -n^2 \) », « \( 3(2n+1) \) » ou « \( 2 \) ». La multiplication implicite à côté de \( n \) est reconnue, tout comme les opérateurs \( + - * / \,\hat{}\, \), les parenthèses, le moins unaire et des fonctions telles que sqrt, exp, ln, sin et cos. Choisissez le nombre de termes à évaluer (de 1 à 1000) et le nombre de chiffres à afficher. Le grand nombre correspond à la dernière réduite ; le tableau montre comment la valeur se stabilise.
La formule expliquée
Pour calculer la n-ième réduite \( f_n \), le calculateur procède du terme le plus profond conservé vers l'extérieur. On pose la « queue » \( t = 0 \), puis pour \( k = n, n-1, \ldots, 1 \) on actualise $$ t = \frac{a_k}{b_k + t}. $$ Enfin, $$ f_n = \frac{a_0}{b_0 + t}. $$ Ce schéma ascendant (de bas en haut) est numériquement propre, et un petit epsilon est substitué chaque fois qu'un dénominateur deviendrait exactement nul (une protection inspirée de l'algorithme de Lentz modifié).
Exemple résolu : le développement de pi
Avec \( a_0 = 4 \), \( b_0 = 1 \), \( a_n = n^2 \), \( b_n = 2n+1 \) et 6 termes, on obtient la célèbre fraction continue de pi. En travaillant de bas en haut pour \( n = 6 \) : \( t \) part de 0 ; \( k=6 \) donne \( 36/13 = 2{,}769231 \) ; \( k=5 \) donne \( 25/13{,}769231 = 1{,}815651 \) ; \( k=4 \) donne \( 1{,}479323 \) ; \( k=3 \) donne \( 1{,}061407 \) ; \( k=2 \) donne \( 0{,}659912 \) ; \( k=1 \) donne \( 0{,}273156 \). On a alors $$ f_6 = \frac{4}{1 + 0{,}273156} = 3{,}141962, $$ déjà proche de \( \pi = 3{,}141593 \). Augmentez le nombre de termes pour affiner la convergence.
FAQ
Pourquoi la valeur ne correspond-elle pas exactement à la constante ? Chaque réduite n'est qu'une troncature. Plus on ajoute de termes, plus la précision augmente, mais la double précision limite les chiffres utiles à une quinzaine environ.
Et si ma fraction diverge ? Certaines expressions oscillent ou divergent. Le tableau des réduites vous permet d'observer le comportement et de juger si une limite existe.
Quels autres exemples puis-je essayer ? \( 1/(e-1) \) : \( a_0=1 \), \( b_0=1 \), \( a_n=n+1 \), \( b_n=n+1 \). Racine de deux : \( a_0=2 \), \( b_0=1 \), \( a_n=1 \), \( b_n=2 \). Logarithme népérien de racine de deux : \( a_0=1 \), \( b_0=3 \), \( a_n=-n^2 \), \( b_n=3(2n+1) \).
