Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, \(f = a_0/(b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + \dots)))\) biçimindeki bir genelleştirilmiş (analitik) sürekli kesri hesaplar ve seçtiğiniz terim sayısına kadar olan ardışık yaklaşımlarını \(f_0, f_1, f_2, \dots\) şeklinde listeler. Kısmi paylar \(a_n\) ve kısmi paydalar \(b_n\), terim indeksi \(n\)'ye bağlı cebirsel ifadeler olarak girilir; böylece pek çok klasik açılımı yeniden üretebilirsiniz: pi, \(1/(e-1)\), karekök ikinin doğal logaritması, karekök iki ve daha nicesi. Bu, herhangi bir birim ya da ülke kapsamı olmayan, tamamen matematiksel bir araçtır.
Nasıl kullanılır?
Başlangıç payı \(a_0\) ve başlangıç paydası \(b_0\) değerlerini birer sayı olarak girin. \(n\). payı \(a_n\) ve \(n\). paydayı \(b_n\)'yi ise \(n\) değişkenine bağlı ifadeler olarak yazın; örneğin "n^2", "n+1", "-n^2", "3(2n+1)" veya "2" gibi. \(n\)'nin yanına gelen kapalı (örtük) çarpma desteklenir; ayrıca + - * / ^ işlemleri, parantezler, tekli eksi işareti ve sqrt, exp, ln, sin, cos gibi fonksiyonlar da kullanılabilir. Kaç terimin hesaplanacağını (1 ile 1000 arası) ve kaç haneli gösterileceğini seçin. Büyük sayı, son yaklaşım değeridir; tablo ise değerin nasıl oturduğunu gösterir.
Formülün açıklaması
Hesaplayıcı, \(n\). yaklaşımı \(f_n\) hesaplamak için tutulan en derin terimden başlayıp dışa doğru ilerler. Kuyruk değerini \(t = 0\) olarak alır, ardından \(k = n, n-1, \dots, 1\) için $$t = \frac{a_k}{b_k + t}$$ güncellemesini yapar. Son olarak $$f_n = \frac{a_0}{b_0 + t}$$ bulunur. Aşağıdan yukarıya çalışan bu yöntem sayısal açıdan temizdir; bir payda tam olarak sıfır olduğunda araç onun yerine küçük bir epsilon değeri kullanır (değiştirilmiş Lentz güvenliği).
Çözümlü örnek: pi açılımı
\(a_0 = 4\), \(b_0 = 1\), \(a_n = n^2\), \(b_n = 2n+1\) ve 6 terimle pi'nin meşhur sürekli kesrini elde edersiniz. \(n = 6\) için aşağıdan yukarı çalışalım: \(t\) değeri 0'dan başlar; k=6 için $$\frac{36}{13} = 2.769231$$ k=5 için $$\frac{25}{13.769231} = 1.815651$$ k=4 için \(1.479323\); k=3 için \(1.061407\); k=2 için \(0.659912\); k=1 için \(0.273156\). Buradan $$f_6 = \frac{4}{1 + 0.273156} = 3.141962$$ çıkar ki bu, \(\pi = 3.141593\) değerine şimdiden epey yakındır. Daha fazla yakınsama için terim sayısını artırın.
Sıkça Sorulan Sorular
Neden değer sabite tam olarak eşit çıkmıyor? Her yaklaşım yalnızca bir kesmedir (truncation). Daha çok terim daha yüksek doğruluk demektir; ancak çift duyarlıklı (double-precision) hesaplama kullanışlı hane sayısını yaklaşık 15 ile sınırlar.
Kesrim ıraksarsa ne olur? Bazı ifadeler salınır ya da ıraksar. Yaklaşımlar tablosu, davranışı izleyip bir limit olup olmadığına karar vermenizi sağlar.
Başka hangi örnekleri deneyebilirim? \(1/(e-1)\): \(a_0=1\), \(b_0=1\), \(a_n=n+1\), \(b_n=n+1\). Karekök iki: \(a_0=2\), \(b_0=1\), \(a_n=1\), \(b_n=2\). Karekök ikinin doğal logaritması: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(a_n=-n^2\), \(b_n=3(2n+1)\).
