ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

تحسب هذه الأداة قيمة الكسر المستمر المعمّم (التحليلي) على الصورة $ f = a_0/(b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + \ldots))) $، وتعرض متقاربـاته المتتالية $f_0$ و$f_1$ و$f_2$ وهكذا حتى عدد الحدود الذي تختاره. تُدخَل البسوط الجزئية $a_n$ والمقامات الجزئية $b_n$ كعبارات جبرية بدلالة دليل الحد $n$، ما يتيح لك إعادة إنتاج كثير من المتسلسلات الكلاسيكية الشهيرة: العدد π، والمقدار 1/(e−1)، واللوغاريتم الطبيعي للجذر التربيعي للعدد 2، والجذر التربيعي للعدد 2، وعدد لا يحصى غيرها. وهي أداة رياضية بحتة لا ترتبط بأي وحدات قياس ولا بنطاق جغرافي معيّن.

طريقة الاستخدام

أدخل البسط الابتدائي $a_0$ والمقام الابتدائي $b_0$ كأعداد. ثم أدخل البسط النوني $a_n$ والمقام النوني $b_n$ كعبارتين بدلالة المتغيّر $n$ — مثل "n^2" أو "n+1" أو "-n^2" أو "3(2n+1)" أو "2". الأداة تدعم الضرب الضمني المجاور لـ $n$، إضافة إلى المعاملات + - * / ^ والأقواس وإشارة السالب الأحادية ودوال مثل sqrt وexp وln وsin وcos. اختر عدد الحدود المراد حسابها (من 1 إلى 1000) وعدد الأرقام المعروضة. الرقم الكبير هو آخر متقارب، بينما يبيّن الجدول كيف تستقر القيمة تدريجيًا.

شرح الصيغة الرياضية

لحساب المتقارب النوني $f_n$ تعمل الحاسبة من أعمق حد محفوظ نحو الخارج. ابدأ بالذيل $ t = 0 $، ثم لكل $ k = n, n-1, \ldots, 1 $ حدِّث القيمة بالعلاقة $$ t = \frac{a_k}{b_k + t}. $$ وأخيرًا يكون $$ f_n = \frac{a_0}{b_0 + t}. $$ هذا الأسلوب التصاعدي من الأسفل إلى الأعلى نظيف عدديًا، وتُستبدل قيمة صغيرة جدًا (إبسيلون) بأي مقام يساوي صفرًا تمامًا، وهو ما يُعرف بضمانة لينتز المعدّلة (modified Lentz).

Recurrence diagram showing numerator and denominator A_n and B_n built from previous terms — Convergents are computed by the recurrence $ A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2} $ (and likewise for $B_n$).

Nested fraction structure of a generalized continued fraction with terms a0, b0, a1, b1, a2, b2 — The nested structure of a generalized continued fraction: each level adds a new $a_n$ over $b_n$.

مثال محلول: متسلسلة العدد π

بوضع $ a_0 = 4 $ و$ b_0 = 1 $ و$ a_n = n^2 $ و$ b_n = 2n+1 $ مع 6 حدود تحصل على الكسر المستمر الشهير للعدد π. وبالعمل من الأسفل إلى الأعلى عند $ n = 6 $: يبدأ $t$ من 0؛ عند $k=6$ نحصل على $ 36/13 = 2.769231 $؛ وعند $k=5$: $ 25/13.769231 = 1.815651 $؛ وعند $k=4$: $ 1.479323 $؛ وعند $k=3$: $ 1.061407 $؛ وعند $k=2$: $ 0.659912 $؛ وعند $k=1$: $ 0.273156 $. ومن ثَمّ $$ f_6 = \frac{4}{1 + 0.273156} = 3.141962, $$ وهي قيمة قريبة بالفعل من $ \pi = 3.141593 $. وكلما زدت عدد الحدود اقتربت القيمة أكثر.

Sequence of convergents approaching the value pi on a number line — Successive convergents $f_n$ oscillate and close in on the true value (here pi).

الأسئلة الشائعة

لماذا لا تطابق القيمة الثابت الرياضي بدقة تامة؟ كل متقارب ليس إلا تقريبًا ناتجًا عن اقتطاع المتسلسلة. زيادة عدد الحدود تعني دقة أعلى، غير أن دقة الفاصلة العائمة المزدوجة تحدّ من الأرقام المفيدة عند نحو 15 رقمًا.

ماذا لو كان الكسر متباعدًا؟ بعض العبارات تتذبذب أو تتباعد. ويتيح لك جدول المتقاربات مراقبة هذا السلوك واتخاذ القرار بشأن وجود نهاية من عدمه.

ما أمثلة أخرى يمكنني تجربتها؟ 1/(e−1): $ a_0=1 $ و$ b_0=1 $ و$ a_n=n+1 $ و$ b_n=n+1 $. الجذر التربيعي للعدد 2: $ a_0=2 $ و$ b_0=1 $ و$ a_n=1 $ و$ b_n=2 $. اللوغاريتم الطبيعي للجذر التربيعي للعدد 2: $ a_0=1 $ و$ b_0=3 $ و$ a_n=-n^2 $ و$ b_n=3(2n+1) $.

n	المتقارب f_n
0	4.0
1	3.0
2	3.1666666666667
3	3.1372549019608
4	3.1423423423423
5	3.1414634146341
6	3.1416149068323
7	3.1415888250921
8	3.1415933118799
9	3.1415925404465
10	3.1415926730303
11	3.1415926502502
12	3.1415926541634
13	3.1415926534913
14	3.1415926536067
15	3.1415926535869
16	3.1415926535903
17	3.1415926535897
18	3.1415926535898
19	3.1415926535898
20	3.1415926535898

حاسبة متقاربات الكسر المستمر المعمّم

أدخل الحساب

صيغة رياضية

نتائج

ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

طريقة الاستخدام

شرح الصيغة الرياضية

مثال محلول: متسلسلة العدد π

الأسئلة الشائعة

الآلات الحاسبة ذات الصلة