ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحاكي هذه الأداة لعبة «حجر ورقة مقص» (المعروفة يابانيًا باسم جانكِن) حين يلعبها n من الأشخاص في وقت واحد. في كل جولة يختار كل لاعب بشكل مستقل بين الحجر أو الورقة أو المقص. وتُعتبر اللعبة «محسومة» عندما ينقسم اللاعبون إلى فائزين وخاسرين، وإلا فإنها تنتهي بالتعادل وتُعاد الجولة. تحسب الأداة احتمال حسم اللعبة خلال \(r\) جولات، وعدد الجولات اللازمة للوصول إلى فرصة حسم بنسبة 99%.
طريقة الاستخدام
أدخل عدد اللاعبين \(n\) (من 2 إلى 100) وعدد الجولات \(r\). تُظهر النتيجة الاحتمال التراكمي لأن تكون اللعبة قد حُسمت بحلول الجولة \(r\)، واحتمال الحسم في جولة واحدة \(p\)، وأصغر عدد من الجولات اللازم لبلوغ فرصة حسم بنسبة 99%.
الصيغة الحسابية
لا تُحسم الجولة الواحدة إلا عندما يظهر نوعان فقط من الأنواع الثلاثة لليد (بحيث يتغلب أحدهما على الآخر). عدد النتائج الحاسمة هو \(3 \times (2^n - 2)\) من أصل \(3^n\) نتيجة كلية، ومن ثَمّ يكون احتمال الحسم في جولة واحدة \(p = (2^n - 2) / 3^{\,n-1}\). أما احتمال عدم الحسم في الجولة (أي التعادل) فهو \(q = 1 - p = (3^{\,n-1} - 2^n + 2) / 3^{\,n-1}\). وبما أن الجولات مستقلة بعضها عن بعض، فإن احتمال بقاء اللعبة دون حسم بعد \(r\) جولات هو \(q^r\)، ما يعطينا الاحتمال التراكمي للحسم:
$$P_{\text{decided}} = 1 - q^{\,\text{Rounds }r}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} q &= \frac{3^{\,n-1} - 2^{\,n} + 2}{3^{\,n-1}} \\ n &= \text{Players} \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
عند \(n = 3\) لاعبين: \(3^{\,n-1} = 9\)، و\(2^n = 8\)، إذن \(q = (9 - 8 + 2)/9 = 1/3\) و\(p = 2/3 \approx 66.67\%\). واحتمال حسم اللعبة خلال جولة واحدة هو $$P = 1 - \tfrac{1}{3} = 0.6667.$$ وخلال جولتين، $$P = 1 - \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = 0.8889.$$ وللوصول إلى نسبة 99%، يكون \(r_{\text{Threshold}} = \lceil \ln(0.01)/\ln(1/3) \rceil = \lceil 4.19 \rceil = 5\) جولات (حيث تبلغ \(P\) عند \(r=5\) قيمة 0.99588).
الأسئلة الشائعة
ما الذي يُحتسب تعادلًا؟ حالتان فقط: أن يُظهر الجميع اليد نفسها، أو أن تظهر الأنواع الثلاثة جميعها. أما أي حالة يظهر فيها نوعان اثنان فقط من اليد فهي حالة حاسمة.
لماذا يحتاج العدد الكبير من اللاعبين \(n\) إلى هذا الكم الهائل من الجولات؟ كلما زاد \(n\)، صار التعادل شبه مؤكد في كل جولة (إذ يقترب \(q\) من الواحد)، ولذا قد يستغرق بلوغ نسبة 99% ملايين الجولات بل نحو \(10^{14}\) جولة عند \(n = 100\).
هل هذه الحاسبة خاصة بمنطقة معينة؟ لا. فلعبة جانكِن ليست سوى «حجر ورقة مقص» المعروفة عالميًا، والحساب هنا صالح لأي لعبة متماثلة قائمة على ثلاثة خيارات.
