Công cụ này làm gì
Công cụ này mô phỏng trò oẳn tù tì (kéo búa bao, hay còn gọi là janken trong tiếng Nhật) khi có \(n\) người cùng ra tay một lúc. Ở mỗi vòng, mỗi người độc lập chọn kéo, búa hoặc bao. Ván đấu được "phân định" khi xuất hiện sự phân chia thắng – thua rõ ràng; ngược lại thì hòa và mọi người chơi lại. Máy tính sẽ cho biết xác suất ván đấu được phân định trong vòng \(r\) vòng, cùng số vòng cần thiết để đạt 99% khả năng có kết quả.
Cách sử dụng
Nhập số người chơi \(n\) (từ 2 đến 100) và số vòng \(r\). Kết quả hiển thị xác suất tích lũy rằng ván đấu đã phân thắng bại tính đến vòng \(r\), xác suất phân định trong một vòng đơn lẻ \(p\), và số vòng tối thiểu cần để đạt 99% khả năng có kết quả.
Công thức
Một vòng chỉ được phân định khi đúng hai trong ba loại bàn tay xuất hiện (một loại thắng loại kia). Số kết cục phân thắng bại là \(3 \times (2^n - 2)\) trên tổng số \(3^n\) trường hợp, nên xác suất phân định trong một vòng là $$p = \frac{2^n - 2}{3^{\,n-1}}.$$ Xác suất một vòng không phân định (hòa) là $$q = 1 - p = \frac{3^{\,n-1} - 2^n + 2}{3^{\,n-1}}.$$ Vì các vòng độc lập với nhau, xác suất ván đấu vẫn chưa phân định sau \(r\) vòng là \(q^r\), suy ra xác suất phân định tích lũy là $$P = 1 - q^{\,r}.$$
Ví dụ minh họa
Với \(n = 3\) người chơi: \(3^{\,n-1} = 9\), \(2^n = 8\), nên $$q = \frac{9 - 8 + 2}{9} = \frac{1}{3}$$ và \(p = \frac{2}{3} \approx 66{,}67\%\). Xác suất ván đấu phân định trong 1 vòng là $$P = 1 - \frac{1}{3} = 0{,}6667.$$ Trong vòng 2 vòng, $$P = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 0{,}8889.$$ Để đạt 99%, $$r_{\text{Threshold}} = \left\lceil \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(1/3)} \right\rceil = \lceil 4{,}19 \rceil = 5 \text{ vòng}$$ (\(P\) tại \(r = 5\) là \(0{,}99588\)).
Câu hỏi thường gặp
Trường hợp nào được tính là hòa? Chỉ có hai trường hợp: tất cả mọi người ra cùng một loại, hoặc cả ba loại tay (kéo, búa, bao) đều xuất hiện. Bất kỳ trường hợp nào chỉ có đúng hai loại tay đều phân thắng bại.
Vì sao \(n\) càng lớn lại cần nhiều vòng đến vậy? Khi \(n\) tăng, khả năng hòa ở mỗi vòng gần như chắc chắn (\(q\) tiến dần về 1), nên việc đạt 99% có thể mất hàng triệu, thậm chí khoảng \(10^{14}\) vòng khi \(n = 100\).
Trò này có riêng cho vùng nào không? Không. Janken chỉ là tên tiếng Nhật của oẳn tù tì (kéo búa bao); phép toán mang tính phổ quát cho mọi trò chơi đối xứng ba lựa chọn.
