À quoi sert ce calculateur
Cet outil modélise une partie de pierre-papier-ciseaux (aussi appelée « janken » au Japon) jouée simultanément par \(n\) personnes. À chaque manche, chaque joueur choisit indépendamment pierre, papier ou ciseaux. La partie est « tranchée » dès qu'un partage net gagnants/perdants apparaît ; sinon, c'est une égalité et l'on rejoue. Le calculateur détermine la probabilité que la partie soit tranchée en \(r\) manches au plus, ainsi que le nombre de manches nécessaires pour atteindre 99 % de chances d'avoir un résultat.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre de joueurs \(n\) (de 2 à 100) et le nombre de manches \(r\). Le résultat affiche la probabilité cumulée que la partie soit tranchée à la manche \(r\), la probabilité \(p\) qu'une manche unique soit décisive, et le plus petit nombre de manches requis pour atteindre 99 % de chances d'aboutir à un résultat.
La formule
Une manche est décisive uniquement lorsque exactement deux des trois signes apparaissent (l'un bat l'autre). Le nombre d'issues décisives est de \(3 \times (2^n - 2)\), sur \(3^n\) issues au total ; la probabilité qu'une manche unique soit décisive vaut donc \(p = (2^n - 2) / 3^{\,n-1}\). La probabilité qu'une manche reste indécise (égalité) est \(q = 1 - p = (3^{\,n-1} - 2^n + 2) / 3^{\,n-1}\). Comme les manches sont indépendantes, la probabilité que la partie soit toujours indécise après \(r\) manches est \(q^r\), ce qui donne la probabilité cumulée d'aboutir à un résultat :
$$\begin{gathered} P_{\text{decided}} = 1 - q^{\,\text{Rounds }r} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} q &= \frac{3^{\,n-1} - 2^{\,n} + 2}{3^{\,n-1}} \\ n &= \text{Players} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple concret
Pour \(n = 3\) joueurs : \(3^{\,n-1} = 9\), \(2^n = 8\), d'où \(q = (9 - 8 + 2)/9 = 1/3\) et \(p = 2/3 \approx 66{,}67\,\%\). La probabilité que la partie soit tranchée en 1 manche est $$P = 1 - (1/3) = 0{,}6667.$$ En 2 manches, $$P = 1 - (1/3)^2 = 0{,}8889.$$ Pour atteindre 99 %, \(r_{\text{Seuil}} = \lceil \ln(0{,}01)/\ln(1/3) \rceil = \lceil 4{,}19 \rceil = 5\) manches (à \(r = 5\), \(P = 0{,}99588\)).
FAQ
Qu'est-ce qui compte comme une égalité ? Seulement deux cas : tout le monde montre le même signe, ou les trois signes sont présents. Tout cas où exactement deux signes apparaissent est décisif.
Pourquoi faut-il autant de manches quand \(n\) est grand ? Plus \(n\) augmente, plus l'égalité devient quasi certaine à chaque manche (\(q\) tend vers 1) ; atteindre les 99 % peut alors exiger des millions, voire \(\sim 10^{14}\) manches pour \(n = 100\).
Est-ce propre à une région ? Non. Le « janken » n'est rien d'autre que le pierre-papier-ciseaux ; les calculs sont universels pour tout jeu symétrique à trois choix.
