Qué hace esta calculadora
Esta herramienta modela una partida de piedra, papel o tijera (también conocida como janken en Japón) jugada de forma simultánea por n personas. En cada ronda, cada jugador elige de manera independiente piedra, papel o tijera. La partida queda «resuelta» cuando se produce una separación clara entre ganadores y perdedores; de lo contrario hay empate y se vuelve a jugar. La calculadora obtiene la probabilidad de que la partida se resuelva en un máximo de \(r\) rondas y cuántas rondas se necesitan para alcanzar un 99% de probabilidad de obtener un resultado.
Cómo usarla
Introduce el número de jugadores \(n\) (de 2 a 100) y el número de rondas \(r\). El resultado muestra la probabilidad acumulada de que la partida se haya resuelto al llegar a la ronda \(r\), la probabilidad \(p\) de resolverse en una sola ronda y el número mínimo de rondas necesario para alcanzar un 99% de probabilidad de tener un resultado.
La fórmula
Una ronda solo se resuelve cuando aparecen exactamente dos de los tres tipos de jugada (uno vence al otro). El número de resultados decisivos es \(3 \times (2^n - 2)\), de un total de \(3^n\), así que la probabilidad de resolverse en una sola ronda es \(p = (2^n - 2) / 3^{\,n-1}\). La probabilidad de que una ronda quede sin resolver (empate) es \(q = 1 - p = (3^{\,n-1} - 2^n + 2) / 3^{\,n-1}\). Como las rondas son independientes, la probabilidad de que la partida siga sin resolverse después de \(r\) rondas es \(q^r\), lo que da una probabilidad acumulada de resolución de:
$$P = 1 - q^r$$
Ejemplo resuelto
Para \(n = 3\) jugadores: \(3^{\,n-1} = 9\), \(2^n = 8\), por lo que \(q = (9 - 8 + 2)/9 = 1/3\) y \(p = 2/3 \approx 66{,}67\%\). La probabilidad de que la partida se resuelva en 1 ronda es:
$$P = 1 - \tfrac{1}{3} = 0{,}6667$$En 2 rondas:
$$P = 1 - \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = 0{,}8889$$Para alcanzar el 99%, \(r_{\text{Umbral}} = \lceil \ln(0{,}01)/\ln(1/3) \rceil = \lceil 4{,}19 \rceil = 5\) rondas (con \(r = 5\), \(P\) es \(0{,}99588\)).
Preguntas frecuentes
¿Qué cuenta como empate? Solo dos casos: que todos muestren la misma jugada o que aparezcan las tres jugadas a la vez. Cualquier caso en el que se den exactamente dos tipos de jugada es decisivo.
¿Por qué un n grande necesita tantas rondas? A medida que \(n\) crece, el empate se vuelve casi seguro en cada ronda (\(q\) se acerca a 1), de modo que llegar al 99% puede requerir millones e incluso \(\sim 10^{14}\) rondas con \(n = 100\).
¿Depende de la región? No. El janken no es más que piedra, papel o tijera; la matemática es universal para cualquier juego simétrico de tres opciones.
