Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, n kişinin aynı anda oynadığı taş kağıt makas (Japonya'daki adıyla "janken") oyununu modeller. Her turda her oyuncu birbirinden bağımsız olarak taş, kağıt veya makas seçer. Oyun, oyuncular kazananlar ve kaybedenler olarak ikiye ayrıldığında "sonuçlanmış" sayılır; aksi takdirde berabere kalınır ve oyun tekrarlanır. Hesaplayıcı, oyunun r tur içinde sonuçlanma olasılığını ve bir sonuca varmak için %99 şansa ulaşmanın kaç tur gerektirdiğini bulur.
Nasıl kullanılır?
Oyuncu sayısı \(n\) (2 ile 100 arası) ve tur sayısı \(r\) değerlerini girin. Sonuçta; oyunun \(r\). tura kadar sonuçlanmış olma kümülatif olasılığı, tek turda sonuçlanma olasılığı \(p\) ve %99 sonuçlanma şansına ulaşmak için gereken en az tur sayısı görüntülenir.
Formül
Bir tur, ancak üç el türünden tam olarak ikisi ortaya çıktığında sonuçlanır (biri diğerini yener). Sonuç doğuran durum sayısı, toplam \(3^n\) olasılık içinde \(3 \times (2^n - 2)\)'dir; dolayısıyla tek turda sonuçlanma olasılığı \(p = (2^n - 2) / 3^{\,n-1}\) olur. Bir turun sonuçsuz kalma (beraberlik) olasılığı ise \(q = 1 - p = (3^{\,n-1} - 2^n + 2) / 3^{\,n-1}\)'dir. Turlar birbirinden bağımsız olduğundan, oyunun \(r\) tur sonra hâlâ sonuçlanmamış olma olasılığı \(q^r\)'dir. Buradan kümülatif sonuçlanma olasılığı şu şekilde elde edilir:
$$P_{\text{decided}} = 1 - q^{\,\text{Rounds }r}$$burada
$$\left\{ \begin{aligned} q &= \frac{3^{\,n-1} - 2^{\,n} + 2}{3^{\,n-1}} \\ n &= \text{Players} \end{aligned} \right.$$
Örnek hesaplama
\(n = 3\) oyuncu için: \(3^{\,n-1} = 9\), \(2^n = 8\) olur, dolayısıyla \(q = (9 - 8 + 2)/9 = 1/3\) ve \(p = 2/3 \approx \%66{,}67\)'dir. Oyunun 1 tur içinde sonuçlanma olasılığı
$$P = 1 - (1/3) = 0{,}6667$$2 tur içinde ise
$$P = 1 - (1/3)^2 = 0{,}8889$$%99'a ulaşmak için \(r_{\text{Eşik}} = \lceil \ln(0{,}01)/\ln(1/3) \rceil = \lceil 4{,}19 \rceil = 5\) tur gerekir (\(r=5\) için \(P\) değeri \(0{,}99588\)'dir).
Sıkça Sorulan Sorular
Beraberlik ne zaman sayılır? Yalnızca iki durumda: herkesin aynı eli göstermesi ya da üç elin de aynı anda ortaya çıkması. El türlerinden tam olarak ikisinin ortaya çıktığı her durum ise sonuç doğurur.
Büyük \(n\) değerleri neden bu kadar çok tur gerektiriyor? \(n\) büyüdükçe her turda beraberlik neredeyse kesin hâle gelir (\(q\) değeri 1'e yaklaşır). Bu nedenle %99'a ulaşmak milyonlarca, hatta \(n = 100\) için yaklaşık \(10^{14}\) tur sürebilir.
Bu hesaplama belirli bir bölgeye mi özgü? Hayır. Janken, basitçe taş kağıt makastır; bu matematik, üç seçenekli simetrik herhangi bir oyun için evrenseldir.
