यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल पत्थर-कागज़-कैंची (जापान में इसे "जानकेन" कहते हैं) के उस खेल का मॉडल बनाता है जिसमें n लोग एक साथ खेलते हैं। हर राउंड में हर खिलाड़ी अपनी मर्ज़ी से पत्थर, कागज़ या कैंची चुनता है। खेल तब "निर्णायक" माना जाता है जब जीतने वाले और हारने वाले साफ़ बँट जाते हैं; नहीं तो वह राउंड टाई (बराबरी) रहता है और दोबारा खेलना पड़ता है। यह कैलकुलेटर बताता है कि r राउंड के भीतर खेल का फ़ैसला होने की प्रायिकता कितनी है, और 99% मौके के साथ नतीजा निकालने के लिए कितने राउंड लगेंगे।
इसका उपयोग कैसे करें
खिलाड़ियों की संख्या \(n\) (2 से 100) और राउंड की संख्या \(r\) दर्ज करें। नतीजे में आपको दिखेगा — राउंड \(r\) तक खेल के निर्णायक हो जाने की संचयी (cumulative) प्रायिकता, किसी एक राउंड में फ़ैसला होने की प्रायिकता \(p\), और 99% मौके तक पहुँचने के लिए ज़रूरी न्यूनतम राउंड की संख्या।
सूत्र (फ़ॉर्मूला)
कोई एक राउंड तभी निर्णायक होता है जब तीनों में से ठीक दो ही तरह के हाथ दिखें (जिनमें से एक दूसरे को हराता है)। ऐसे निर्णायक परिणामों की संख्या \(3 \times (2^n - 2)\) होती है, जबकि कुल परिणाम \(3^n\) होते हैं। इसलिए एक राउंड में फ़ैसला होने की प्रायिकता $$p = \frac{2^n - 2}{3^{\,n-1}}$$ है। राउंड के बिना नतीजे (यानी टाई) रहने की प्रायिकता $$q = 1 - p = \frac{3^{\,n-1} - 2^n + 2}{3^{\,n-1}}$$ है। चूँकि हर राउंड एक-दूसरे से स्वतंत्र होता है, इसलिए \(r\) राउंड के बाद भी खेल अनिर्णीत रहने की प्रायिकता \(q^r\) होती है, जिससे संचयी निर्णायक प्रायिकता $$P = 1 - q^r$$ निकलती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(n = 3\) खिलाड़ी हैं: \(3^{\,n-1} = 9\), \(2^n = 8\), तो $$q = \frac{9 - 8 + 2}{9} = \frac{1}{3}$$ और \(p = \frac{2}{3} \approx 66.67\%\) होगा। 1 राउंड के भीतर खेल का फ़ैसला होने की प्रायिकता $$P = 1 - \frac{1}{3} = 0.6667$$ है। 2 राउंड के भीतर $$P = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 0.8889$$ है। 99% तक पहुँचने के लिए \(r_{\text{Threshold}} = \lceil \ln(0.01)/\ln(1/3) \rceil = \lceil 4.19 \rceil = 5\) राउंड लगेंगे (\(r=5\) पर \(P\) का मान \(0.99588\) होता है)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
टाई (बराबरी) किसे माना जाता है? सिर्फ़ दो स्थितियाँ: या तो सभी खिलाड़ी एक ही हाथ दिखाएँ, या तीनों तरह के हाथ मौजूद हों। जहाँ ठीक दो ही तरह के हाथ दिखें, वह राउंड निर्णायक होता है।
बड़े \(n\) के लिए इतने ज़्यादा राउंड क्यों चाहिए? जैसे-जैसे \(n\) बढ़ता है, हर राउंड में टाई होना लगभग तय हो जाता है (\(q\) का मान 1 के करीब पहुँच जाता है), इसलिए 99% तक पहुँचने में लाखों, या \(n = 100\) के लिए तो लगभग \(10^{14}\) तक राउंड लग सकते हैं।
क्या यह किसी ख़ास इलाक़े पर लागू होता है? नहीं। जानकेन और कुछ नहीं, बस पत्थर-कागज़-कैंची ही है; यह गणित तीन विकल्पों वाले हर सममित (symmetric) खेल पर समान रूप से लागू होता है।
