Что считает этот калькулятор
Инструмент моделирует игру «камень-ножницы-бумага» (в Японии её называют «дзянкэн»), в которую одновременно играют n человек. В каждом раунде все участники независимо выбирают камень, ножницы или бумагу. Игра считается «решённой», когда возникает чёткое деление на победителей и проигравших; в противном случае это ничья, и раунд повторяется. Калькулятор определяет вероятность того, что игра завершится за r раундов, а также сколько раундов нужно для 99-процентного шанса на исход.
Как пользоваться
Введите число игроков \(n\) (от 2 до 100) и число раундов \(r\). В результате вы увидите накопленную вероятность того, что игра завершится к раунду \(r\), вероятность исхода в одном раунде \(p\), а также минимальное число раундов, необходимое для достижения 99-процентного шанса на завершение игры.
Формула
Один раунд завершается результатом только тогда, когда из трёх возможных жестов присутствуют ровно два (один бьёт другой). Число «решающих» исходов равно \(3 \times (2^n - 2)\) из \(3^n\) всех возможных, поэтому вероятность исхода за один раунд равна $$p = \frac{2^n - 2}{3^{\,n-1}}.$$ Вероятность ничьей в раунде составляет $$q = 1 - p = \frac{3^{\,n-1} - 2^n + 2}{3^{\,n-1}}.$$ Поскольку раунды независимы, вероятность того, что игра всё ещё не завершена после \(r\) раундов, равна \(q^r\), а значит накопленная вероятность исхода — $$P = 1 - q^{\,r}.$$
Разбор примера
Для \(n = 3\) игроков: \(3^{\,n-1} = 9\), \(2^n = 8\), поэтому \(q = \frac{9 - 8 + 2}{9} = \frac{1}{3}\) и \(p = \frac{2}{3} \approx 66{,}67\%\). Вероятность того, что игра завершится за 1 раунд, равна \(P = 1 - \frac{1}{3} = 0{,}6667\). За 2 раунда \(P = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 0{,}8889\). Чтобы достичь 99%, нужно \(r_{\text{Threshold}} = \lceil \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(1/3)} \rceil = \lceil 4{,}19 \rceil = 5\) раундов (при \(r = 5\) значение \(P\) равно \(0{,}99588\)).
Частые вопросы
Что считается ничьей? Возможны только два случая: все показывают один и тот же жест либо присутствуют сразу все три жеста. Любой случай, когда встречаются ровно два вида жестов, является решающим.
Почему при большом n требуется так много раундов? С ростом \(n\) ничья в каждом раунде становится почти неизбежной (\(q\) стремится к 1), поэтому для достижения 99% может потребоваться миллионы и даже порядка \(10^{14}\) раундов при \(n = 100\).
Привязан ли калькулятор к конкретной стране? Нет. «Дзянкэн» — это просто японское название игры «камень-ножницы-бумага»; математика универсальна для любой симметричной игры с тремя вариантами выбора.
