이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 n명이 동시에 가위바위보를 하는 상황을 모델링합니다. 매 라운드마다 모든 참가자가 독립적으로 가위·바위·보 중 하나를 냅니다. 이긴 쪽과 진 쪽으로 명확히 갈리면 그 판에서 "승부가 결정"되고, 그렇지 않으면 비긴 것으로 보아 다시 한 라운드를 진행합니다. 이 계산기는 r라운드 안에 승부가 결정될 확률과, 99% 확률로 결판이 나기까지 몇 라운드가 필요한지를 구해 줍니다.
사용 방법
참가자 수 \(n\)(2~100명)과 라운드 수 \(r\)을 입력하세요. 결과에는 \(r\)라운드까지 진행했을 때 승부가 결정되어 있을 누적 확률, 한 라운드에서 승부가 갈릴 확률 \(p\), 그리고 99% 확률로 결판이 나기 위해 필요한 최소 라운드 수가 표시됩니다.
계산 공식
한 라운드는 세 가지 손 모양 중 정확히 두 종류만 나왔을 때(한쪽이 다른 쪽을 이김) 비로소 승부가 갈립니다. 승부가 결정되는 경우의 수는 전체 \(3^n\)가지 중 \(3 \times (2^n - 2)\)가지이므로, 한 라운드에서 승부가 갈릴 확률은 $$p = \frac{2^n - 2}{3^{\,n-1}}$$입니다. 비길(승부가 나지 않을) 확률은 $$q = 1 - p = \frac{3^{\,n-1} - 2^n + 2}{3^{\,n-1}}$$입니다. 각 라운드는 서로 독립이므로 \(r\)라운드가 지나도 여전히 결판이 나지 않을 확률은 \(q^r\)이며, 따라서 \(r\)라운드 안에 승부가 결정될 누적 확률은 $$P = 1 - q^r$$이 됩니다.
계산 예시
참가자 \(n = 3\)명인 경우: \(3^{\,n-1} = 9\), \(2^n = 8\)이므로 \(q = \frac{9 - 8 + 2}{9} = \frac{1}{3}\)이고 \(p = \frac{2}{3} \approx 66.67\%\)입니다. 1라운드 안에 승부가 결정될 확률은 $$P = 1 - \tfrac{1}{3} = 0.6667$$입니다. 2라운드 안이라면 $$P = 1 - \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 = 0.8889$$입니다. 99%에 도달하려면 \(r_{\text{Threshold}} = \lceil \ln(0.01)/\ln(1/3) \rceil = \lceil 4.19 \rceil = 5\)라운드가 필요하며, \(r=5\)일 때 \(P\)는 \(0.99588\)입니다.
자주 묻는 질문
어떤 경우를 비긴 것으로 보나요? 두 가지 경우뿐입니다. 모두가 같은 손을 냈거나, 가위·바위·보 세 가지가 모두 나온 경우입니다. 정확히 두 종류의 손 모양만 나오면 그 판은 승부가 결정됩니다.
왜 인원수 \(n\)이 커지면 그렇게 많은 라운드가 필요한가요? \(n\)이 커질수록 매 라운드 비길 확률이 거의 1에 가까워지기(\(q\)가 1에 수렴) 때문입니다. 그래서 99%에 도달하는 데 수백만 라운드, \(n = 100\)이면 약 \(10^{14}\)라운드까지도 필요할 수 있습니다.
특정 나라에서만 쓰는 방식인가요? 아닙니다. 일본어로는 '잔켄(janken)'이라고 부르지만 결국 우리가 아는 가위바위보와 같습니다. 이 계산은 세 가지 선택지가 대칭적인 모든 게임에 보편적으로 적용됩니다.
