Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет обобщённую (аналитическую) цепную дробь вида \(f = a_0/(b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + \ldots)))\) и выводит последовательность её подходящих дробей \(f_0, f_1, f_2, \ldots\) до заданного числа членов. Частные числители \(a_n\) и частные знаменатели \(b_n\) задаются как алгебраические выражения от номера члена \(n\), поэтому с его помощью легко воспроизвести множество классических разложений: \(\pi\), \(1/(e-1)\), натуральный логарифм корня из двух, сам корень из двух и бесчисленное множество других. Это чисто математический инструмент: у него нет единиц измерения и привязки к какой-либо стране.
Как пользоваться
Введите начальный числитель \(a_0\) и начальный знаменатель \(b_0\) в виде чисел. Задайте \(n\)-й числитель \(a_n\) и \(n\)-й знаменатель \(b_n\) как выражения от переменной \(n\) — например, «n^2», «n+1», «−n^2», «3(2n+1)» или просто «2». Поддерживается неявное умножение рядом с \(n\), а также операции + − * / ^, скобки, унарный минус и функции sqrt, exp, ln, sin и cos. Выберите, сколько членов вычислить (от 1 до 1000) и сколько знаков выводить. Крупное число — это последняя подходящая дробь, а таблица показывает, как значение постепенно стабилизируется.
Разбор формулы
Чтобы вычислить \(n\)-ю подходящую дробь \(f_n\), калькулятор идёт от самого глубокого сохранённого члена наружу. Начинаем с «хвоста» \(t = 0\), затем для \(k = n, n-1, \ldots, 1\) обновляем $$t = \frac{a_k}{b_k + t}.$$ В конце $$f_n = \frac{a_0}{b_0 + t}.$$ Такая схема «снизу вверх» численно устойчива, а если знаменатель оказывается ровно нулевым, вместо него подставляется небольшое число эпсилон (защита по методу модифицированного алгоритма Ленца).
Пример с разложением π
При \(a_0 = 4\), \(b_0 = 1\), \(a_n = n^2\), \(b_n = 2n+1\) и 6 членах получается знаменитая цепная дробь для \(\pi\). Идём снизу вверх при \(n = 6\): \(t\) начинается с 0; \(k=6\) даёт \(36/13 = 2{,}769231\); \(k=5\) даёт \(25/13{,}769231 = 1{,}815651\); \(k=4\) даёт \(1{,}479323\); \(k=3\) даёт \(1{,}061407\); \(k=2\) даёт \(0{,}659912\); \(k=1\) даёт \(0{,}273156\). Тогда $$f_6 = \frac{4}{1 + 0{,}273156} = 3{,}141962$$ — уже близко к \(\pi = 3{,}141593\). Увеличьте число членов, чтобы приблизиться точнее.
Частые вопросы
Почему значение не совпадает с константой в точности? Каждая подходящая дробь — это лишь усечение ряда. Чем больше членов, тем выше точность, однако двойная точность ограничивает число полезных цифр примерно пятнадцатью.
А если моя дробь расходится? Некоторые выражения колеблются или расходятся. Таблица подходящих дробей позволяет проследить за поведением значения и понять, существует ли предел.
Какие ещё примеры можно попробовать? \(1/(e-1)\): \(a_0=1\), \(b_0=1\), \(a_n=n+1\), \(b_n=n+1\). Корень из двух: \(a_0=2\), \(b_0=1\), \(a_n=1\), \(b_n=2\). Натуральный логарифм корня из двух: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(a_n=-n^2\), \(b_n=3(2n+1)\).
