这个计算器能做什么
本工具用于计算形如 \(f = a_0/(b_0 + a_1/(b_1 + a_2/(b_2 + \dots)))\) 的广义（解析）连分数，并逐阶列出渐近值 \(f_0\)、\(f_1\)、\(f_2\) …… 直到你指定的项数为止。其中分子 \(a_n\) 与分母 \(b_n\) 都按照项序号 \(n\) 的代数表达式输入，因此可以轻松重现许多经典展开式：π、\(1/(e-1)\)、根号二的自然对数、根号二，以及无数其他常数。它是一款纯数学工具，不涉及任何单位或国家/地区限制。
使用方法
将首项分子 \(a_0\) 与首项分母 \(b_0\) 以数字形式填入。第 \(n\) 项分子 \(a_n\) 与第 \(n\) 项分母 \(b_n\) 则填写关于变量 \(n\) 的表达式——例如 "n^2"、"n+1"、"-n^2"、"3(2n+1)" 或 "2"。支持紧贴 \(n\) 的隐式乘法，也支持 + - * / ^、括号、一元负号，以及 sqrt、exp、ln、sin、cos 等函数。再选择要计算的项数（1 至 1000）以及结果显示的小数位数。页面上方的大号数字即为最后一阶渐近值，下方表格则展示数值如何逐步收敛稳定。
公式解析
为计算第 \(n\) 阶渐近值 \(f_n\)，计算器从保留的最内层项开始，由内向外逐层推进。先令尾项 \(t = 0\)，然后对 \(k = n, n-1, \dots, 1\) 依次更新 \(t = a_k / (b_k + t)\)，最后得到 \(f_n = a_0 / (b_0 + t)\)。这种自底向上的算法在数值上更为稳健；一旦某个分母恰好为零，程序会自动替换一个极小的 epsilon（这是改进版 Lentz 算法的保护措施）。
实例演练：π 的展开式
取 \(a_0 = 4\)、\(b_0 = 1\)、\(a_n = n^2\)、\(b_n = 2n+1\)，计算 6 项，即可得到著名的 π 连分数展开。在 \(n = 6\) 时自底向上计算：\(t\) 从 0 开始；\(k=6\) 得 $$36/13 = 2.769231$$ \(k=5\) 得 $$25/13.769231 = 1.815651$$ \(k=4\) 得 \(1.479323\)；\(k=3\) 得 \(1.061407\)；\(k=2\) 得 \(0.659912\)；\(k=1\) 得 \(0.273156\)。于是 $$f_6 = 4/(1 + 0.273156) = 3.141962$$ 已经相当接近 \(\pi = 3.141593\)。增加项数即可进一步逼近真值。
常见问题
为什么结果与常数不完全相等？每一阶渐近值都只是截断后的近似值。项数越多越精确，不过受双精度浮点限制，有效数字大约只能到 15 位。
如果我的连分数发散怎么办？有些表达式会振荡或发散。借助渐近值表格，你可以观察其变化趋势，从而判断极限是否存在。
还能尝试哪些例子？\(1/(e-1)\)：\(a_0=1\)、\(b_0=1\)、\(a_n=n+1\)、\(b_n=n+1\)。根号二：\(a_0=2\)、\(b_0=1\)、\(a_n=1\)、\(b_n=2\)。根号二的自然对数：\(a_0=1\)、\(b_0=3\)、\(a_n=-n^2\)、\(b_n=3(2n+1)\)。
