什么是高斯-勒让德求积？
高斯-勒让德求积（Gauss-Legendre quadrature）是一种估算定积分的数值方法。它不像传统方法那样把区间切成许多等宽的小条，而是在少数几个经过精心挑选的点（即节点）上对被积函数取值，再配以经过精确调校的权重加权求和。它的优势非常突出：n 点高斯-勒让德公式可以精确积分任意不超过 \(2n - 1\) 次的多项式；对于光滑函数，它只需远少于梯形法或辛普森法的取值次数，就能得到极高的精度。
如何使用本计算器
把被积函数填写为关于 x 的表达式（例如 4/(1+x^2)、sin(x)*exp(-x) 或 sqrt(1-x^2)）。设定积分下限 a 与上限 b，再从 2 到 64 之间选择节点数 n。对于光滑的被积函数，n 越大精度越高。支持的运算符为 + - * / ^；支持的函数包括 sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、log/ln、log10、sqrt 和 abs，另外还有常数 pi 和 e。
公式详解
经典公式定义在区间 [-1, 1] 上：积分被近似为函数 f 在勒让德多项式根 \(x_i\) 处取值的加权和。
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\,f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$要处理一般区间 [a, b]，需要做一次线性变量替换，把 [-1, 1] 上的 t 映射为 \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{b+a}{2}\)，相应地 \(dx = \frac{b-a}{2}\,dt\)。本计算器对勒让德多项式的递推关系运用牛顿法实时计算节点，因此无需查表。
实例演算
取 \(f(x) = \frac{4}{1 + x^2}\)，区间为 [0, 1]，其精确积分值恰为 pi。当 \(n = 2\) 时，节点为 \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)，权重均为 1。将它们映射到 [0, 1] 并代入计算，得到 \(f(0.2113) = 3.8290\) 与 \(f(0.7887) = 2.4661\)；求和后乘以缩放因子 0.5，约为 3.1476——仅用两次取值就已经相当接近 pi。当 \(n = 20\) 时，结果可与 pi 吻合到约 3.14159265359。
常见问题
如果 a = b 会怎样？此时区间宽度为零，积分结果恰好为 0。
b 可以小于 a 吗？可以。计算器会返回带符号的结果，这符合"交换积分上下限会使积分变号"的约定。
为什么结果看起来不对？高斯-勒让德法假设被积函数在每个节点上都是有限值。区间内部的奇点（例如除以零，或对负数取对数）可能产生无意义的值；当某个节点的取值为 NaN 或无穷大时，计算器会给出警告。请注意，端点 a 和 b 本身永远不会被代入计算，这对处理端点处较温和的奇异行为有所帮助。
