Cầu phương Gauss-Legendre là gì?
Cầu phương Gauss-Legendre là một phương pháp số dùng để ước lượng tích phân xác định. Thay vì chia khoảng tích phân thành rất nhiều dải bằng nhau, phương pháp này tính giá trị của hàm dưới dấu tích phân tại một số ít điểm được chọn rất khéo léo (gọi là các nút) rồi kết hợp chúng với các trọng số được hiệu chỉnh cẩn thận. Phần thưởng là độ chính xác đáng kinh ngạc: quy tắc Gauss-Legendre n điểm tính chính xác mọi đa thức có bậc tới \(2n - 1\), và cho kết quả tuyệt vời với các hàm trơn mà cần ít lần tính giá trị hơn nhiều so với quy tắc hình thang hay quy tắc Simpson.
Cách sử dụng máy tính này
Nhập hàm dưới dấu tích phân dưới dạng một biểu thức theo x (ví dụ 4/(1+x^2), sin(x)*exp(-x), hoặc sqrt(1-x^2)). Đặt cận dưới a và cận trên b, sau đó chọn số điểm n từ 2 đến 64. Giá trị n càng lớn thì độ chính xác càng cao đối với các hàm trơn. Các phép toán được hỗ trợ gồm + - * / ^; các hàm được hỗ trợ gồm sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt và abs, cùng với các hằng số pi và e.
Giải thích công thức
Quy tắc cổ điển được định nghĩa trên khoảng [-1, 1]: tích phân được xấp xỉ bằng tổng có trọng số của f tại các nghiệm Legendre \(x_i\). Để xử lý một khoảng tổng quát [a, b], ta dùng phép đổi biến tuyến tính ánh xạ t thuộc [-1, 1] sang \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{b+a}{2}\), với \(dx = \frac{b-a}{2}\,dt\). Máy tính này tính trực tiếp các nút bằng phương pháp Newton áp dụng cho công thức truy hồi của đa thức Legendre, nên không cần bảng tra cứu.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\,f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$
Ví dụ minh họa
Xét \(f(x) = \frac{4}{1 + x^2}\) trên [0, 1], có tích phân chính xác là \(\pi\). Với \(n = 2\), các nút là \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\) với trọng số đều bằng 1. Ánh xạ chúng vào [0, 1] và tính giá trị, ta được \(f(0.2113) = 3.8290\) và \(f(0.7887) = 2.4661\); tổng nhân với hệ số tỉ lệ 0.5 cho kết quả khoảng 3.1476 — đã rất gần \(\pi\) chỉ sau hai lần tính. Với \(n = 20\), kết quả khớp với \(\pi\) tới khoảng 3.14159265359.
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra nếu a = b? Khoảng tích phân có độ rộng bằng 0, nên tích phân đúng bằng 0.
b có thể nhỏ hơn a không? Có. Quy tắc trả về kết quả có dấu, đúng theo quy ước rằng đảo ngược các cận sẽ đổi dấu tích phân.
Tại sao kết quả lại trông sai? Gauss-Legendre giả định hàm dưới dấu tích phân là hữu hạn tại mọi nút. Một điểm kỳ dị bên trong khoảng (phép chia cho 0 hoặc lấy log của một số âm) có thể tạo ra giá trị vô nghĩa; máy tính sẽ cảnh báo bạn khi một nút cho ra NaN hoặc vô cực. Lưu ý rằng bản thân các điểm đầu mút a và b không bao giờ được tính đến, điều này giúp xử lý các hành vi nhẹ tại đầu mút.
