Qu'est-ce que la quadrature de Gauss-Legendre ?
La quadrature de Gauss-Legendre est une méthode numérique permettant d'estimer une intégrale définie. Plutôt que de découper l'intervalle en une multitude de bandes égales, elle évalue la fonction à intégrer en un petit nombre de points astucieusement choisis (les nœuds) et les combine à l'aide de poids soigneusement ajustés. Le résultat est d'une précision remarquable : une règle de Gauss-Legendre à n points intègre exactement tout polynôme de degré inférieur ou égal à \(2n - 1\), et donne d'excellents résultats pour les fonctions régulières, avec bien moins d'évaluations que les méthodes des trapèzes ou de Simpson.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la fonction à intégrer sous forme d'expression en x (par exemple 4/(1+x^2), sin(x)*exp(-x) ou sqrt(1-x^2)). Définissez la borne inférieure a et la borne supérieure b, puis choisissez le nombre de points n, de 2 à 64. Plus n est élevé, plus la précision augmente pour les fonctions régulières. Les opérateurs pris en charge sont + - * / ^ ; les fonctions disponibles comprennent sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt et abs, ainsi que les constantes pi et e.
La formule expliquée
La règle classique est définie sur l'intervalle [−1, 1] : l'intégrale est approchée par la somme pondérée de f évaluée aux racines de Legendre x_i. Pour traiter un intervalle quelconque [a, b], un changement de variable linéaire envoie t de [−1, 1] sur \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{b+a}{2}\), avec \(dx = \frac{b-a}{2}\,dt\). Ce calculateur détermine les nœuds à la volée à l'aide de la méthode de Newton appliquée à la récurrence des polynômes de Legendre : aucune table de valeurs n'est donc nécessaire.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\,f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$
Exemple résolu
Prenons \(f(x) = \frac{4}{1 + x^2}\) sur [0, 1], dont l'intégrale exacte vaut \(\pi\). Avec \(n = 2\), les nœuds sont \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\) avec des poids de 1 et 1. En les ramenant dans [0, 1] puis en évaluant, on obtient \(f(0{,}2113) = 3{,}8290\) et \(f(0{,}7887) = 2{,}4661\) ; la somme multipliée par le facteur d'échelle \(0{,}5\) donne environ \(3{,}1476\) — déjà proche de \(\pi\) après seulement deux évaluations. Avec \(n = 20\), le résultat coïncide avec \(\pi\) jusqu'à environ \(3{,}14159265359\).
FAQ
Que se passe-t-il si a = b ? L'intervalle est de largeur nulle : l'intégrale vaut donc exactement 0.
b peut-il être inférieur à a ? Oui. La règle renvoie le résultat signé, conformément à la convention selon laquelle inverser les bornes change le signe de l'intégrale.
Pourquoi le résultat peut-il sembler erroné ? La méthode de Gauss-Legendre suppose que la fonction à intégrer est finie en chaque nœud. Une singularité à l'intérieur de l'intervalle (une division par zéro ou un logarithme d'un nombre négatif) peut produire une valeur dénuée de sens ; le calculateur vous avertit lorsqu'un nœud renvoie NaN ou l'infini. À noter : les bornes a et b elles-mêmes ne sont jamais évaluées, ce qui aide en cas de comportement modéré aux extrémités.
