गॉस-लेजेंड्रे क्वाड्रेचर क्या है?
गॉस-लेजेंड्रे क्वाड्रेचर किसी निश्चित समाकल (definite integral) का अनुमान लगाने की एक संख्यात्मक विधि है। यह अंतराल को बहुत-सी बराबर पट्टियों में बाँटने के बजाय, समाकल्य फलन को कुछ ही चतुराई से चुने गए बिंदुओं (जिन्हें नोड कहते हैं) पर मूल्यांकित करती है और उन्हें सावधानी से तय किए गए भारों (weights) के साथ जोड़ देती है। इसका लाभ है बेजोड़ सटीकता: n-बिंदु वाला गॉस-लेजेंड्रे नियम \(2n - 1\) घात तक के किसी भी बहुपद को बिल्कुल सटीक रूप से समाकलित करता है, और चिकने (smooth) फलनों के लिए ट्रेपेज़ॉइडल या सिम्पसन नियम की तुलना में कहीं कम मूल्यांकनों में शानदार परिणाम देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
समाकल्य फलन को x के एक व्यंजक के रूप में लिखें (उदाहरण के लिए 4/(1+x^2), sin(x)*exp(-x), या sqrt(1-x^2))। निचली सीमा a और ऊपरी सीमा b निर्धारित करें, फिर बिंदुओं की संख्या n को 2 से 64 के बीच चुनें। चिकने समाकल्य फलनों के लिए अधिक n अधिक सटीकता देता है। समर्थित संक्रियाएँ हैं + - * / ^; समर्थित फलनों में sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt और abs शामिल हैं, साथ ही स्थिरांक pi और e भी।
सूत्र की व्याख्या
शास्त्रीय नियम अंतराल \([-1, 1]\) पर परिभाषित होता है: समाकल को लेजेंड्रे मूलों \(x_i\) पर f के भारित योग द्वारा अनुमानित किया जाता है।
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\,f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$किसी सामान्य अंतराल \([a, b]\) को संभालने के लिए, एक रैखिक चर-परिवर्तन \(t \in [-1, 1]\) को \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{b+a}{2}\) पर मैप करता है, जहाँ \(dx = \frac{b-a}{2}\,dt\)। यह कैलकुलेटर लेजेंड्रे बहुपद की पुनरावृत्ति पर न्यूटन विधि (Newton's method) का उपयोग करके नोड्स की गणना तुरंत कर लेता है, इसलिए किसी पूर्व-निर्मित तालिका (lookup table) की आवश्यकता नहीं पड़ती।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \([0, 1]\) पर \(f(x) = \frac{4}{1 + x^2}\), जिसका सटीक समाकल \(\pi\) है। \(n = 2\) पर नोड्स \(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\) होते हैं, जिनके भार 1 और 1 हैं। इन्हें \([0, 1]\) में मैप करके मूल्यांकित करने पर \(f(0.2113) = 3.8290\) और \(f(0.7887) = 2.4661\) मिलता है; इनके योग को मापक 0.5 से गुणा करने पर लगभग \(3.1476\) आता है — महज़ दो मूल्यांकनों के बाद ही \(\pi\) के काफ़ी क़रीब। \(n = 20\) पर परिणाम \(\pi\) से लगभग \(3.14159265359\) तक मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर a = b हो तो क्या होता है? अंतराल की चौड़ाई शून्य हो जाती है, इसलिए समाकल बिल्कुल 0 होता है।
क्या b, a से छोटा हो सकता है? हाँ। नियम चिह्नित (signed) परिणाम देता है, जो इस परंपरा के अनुरूप है कि सीमाएँ उलटने पर समाकल का चिह्न बदल जाता है।
परिणाम ग़लत क्यों दिख सकता है? गॉस-लेजेंड्रे यह मानकर चलता है कि समाकल्य फलन प्रत्येक नोड पर परिमित (finite) है। अंतराल के भीतर कोई विचित्रता (singularity) — जैसे शून्य से भाग या किसी ऋणात्मक संख्या का log — एक अर्थहीन मान दे सकती है; जब कोई नोड NaN या अनंत देता है तो कैलकुलेटर आपको चेतावनी देता है। ध्यान दें कि सिरों a और b का स्वयं कभी मूल्यांकन नहीं होता, जिससे सिरों पर हल्के असामान्य व्यवहार से मदद मिलती है।
