यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी फ़ंक्शन \(f(x)\) के एक सीमित अंतराल \([a, b]\) पर निश्चित समाकलन (definite integral) का अनुमान तीन क्लासिक संयुक्त क्वाड्रेचर नियमों से लगाता है: ट्रैपेज़ॉइडल नियम, मिडपॉइंट नियम और सिम्पसन नियम। यह केवल एक ही संख्या नहीं देता, बल्कि हर नियम को 2, 4, 8, 16, ... उपखंडों पर — यानी हर बार दोगुना करते हुए आपकी चुनी हुई अधिकतम संख्या \(N\) तक — हल करता है और एक अभिसरण तालिका दिखाता है। इससे आप देख सकते हैं कि अनुमान कैसे स्थिर होते जाते हैं और सटीकता का अंदाज़ा खुद लगा सकते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
समाकल्य (integrand) को चर x में एक गणितीय एक्सप्रेशन के रूप में लिखें (जैसे 4/(1+x^2) या sin(x)*exp(-x))। यहाँ + - * / ^ ऑपरेटर और कोष्ठक समर्थित हैं, साथ ही sin, cos, tan, exp, log/ln, sqrt और abs जैसे सामान्य फ़ंक्शन तथा pi और e जैसे स्थिरांक भी। निचली सीमा \(a\) और ऊपरी सीमा \(b\) भरें, उपखंडों की अधिकतम संख्या \(N\) चुनें (2 की घात में), और तय करें कि कितने अंक तक परिणाम दिखाना है। मुख्य परिणाम के रूप में \(n = N\) पर सिम्पसन का अनुमान दिखाया जाता है, क्योंकि यह आमतौर पर सबसे तेज़ी से अभिसरित होता है।
सूत्रों की व्याख्या
\(n\) उप-अंतरालों के लिए स्टेप \(h = (b - a)/n\) होता है और नोड्स \(x_i = a + i\,h\) होते हैं। ट्रैपेज़ॉइडल नियम फ़ंक्शन के मानों को जोड़ता है, जिसमें दोनों सिरों (endpoints) का भार आधा रखा जाता है। मिडपॉइंट नियम हर उप-अंतराल के बीचोंबीच का मान लेता है। सिम्पसन नियम इन दोनों को 1, 4, 2, 4, ..., 4, 1 भारों के साथ मिलाता है; यह घन (cubic) फ़ंक्शनों के लिए बिलकुल सटीक होता है और इसकी त्रुटि \(h^4\) क्रम की होती है, जबकि बाकी दोनों की त्रुटि \(h^2\) क्रम की।
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(f(x) = 4/(1+x^2)\) के लिए \([0, 1]\) पर सटीक समाकलन \(\pi = 3.14159265\ldots\) है। \(n = 4\) और \(h = 0.25\) के साथ ट्रैपेज़ॉइडल अनुमान लगभग \(3.131176\), मिडपॉइंट अनुमान लगभग \(3.146801\) और सिम्पसन अनुमान लगभग \(3.141569\) आता है — जो पहले ही पाँच दशमलव अंकों तक सटीक है। जैसे-जैसे \(n\) बढ़ता है, तीनों अनुमान \(\pi\) के पास पहुँचते जाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
N को 2 की घात ही क्यों होना चाहिए? उपखंडों को दोगुना करने से लगातार पंक्तियों की तुलना आसान हो जाती है और सिम्पसन नियम के लिए ज़रूरी सम (even) संख्या भी सुनिश्चित रहती है।
कौन-से फ़ंक्शन इसके दायरे से बाहर हैं? अभिसरण तालिका मानती है कि समाकल्य चिकना (analytic) और अनावर्ती (non-periodic) है। जिन फ़ंक्शनों में \([a, b]\) के भीतर विचित्रता (singularity) हो — जैसे शून्य से होकर गुज़रता \(1/x\) — वे अनंत या बेमतलब परिणाम देंगे।
अगर a और b बराबर हों, या a, b से बड़ा हो तो? अगर \(a = b\) है तो समाकलन \(0\) होगा। अगर \(a > b\) है तो परिणाम \([b, a]\) पर लिए गए समाकलन का चिह्नित (ऋणात्मक) मान होगा।
