समलम्ब नियम (Trapezoidal Rule) क्या है?
समलम्ब नियम एक संख्यात्मक समाकलन (numerical integration) विधि है, जो किसी वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का अनुमान लगाती है। इसमें अंतराल को n बराबर उप-अंतरालों में बाँटा जाता है और हर टुकड़े को एक समलम्ब चतुर्भुज (trapezoid) मान लिया जाता है। इन सभी समलम्बों के क्षेत्रफल जोड़कर हमें निश्चित समाकलन \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) का अनुमान मिल जाता है — यह तब बेहद काम आता है जब किसी फलन का प्रतिअवकलज (antiderivative) बंद रूप में निकालना कठिन या असंभव हो।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपना फलन डालते समय चर के रूप में x का प्रयोग करें (जैसे x^2, sin(x), या exp(x))। इसके बाद निचली सीमा a, ऊपरी सीमा b, और उप-अंतरालों की संख्या n सेट करें। आमतौर पर n जितना बड़ा होगा, परिणाम उतना ही सटीक मिलेगा। कैलकुलेटर आपको समाकलन का अनुमानित मान, चरण आकार (step size) \(\Delta x\) तथा सिरों के मान दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
संयुक्त समलम्ब नियम (composite trapezoidal rule) इस प्रकार है:
$$\int f\,dx \approx \frac{\Delta x}{2}\cdot\left[f_0 + 2(f_1 + \cdots + f_{n-1}) + f_n\right], \quad \text{जहाँ } \Delta x = \frac{b - a}{n}$$सिरों के मान \(f_0\) और \(f_n\) को एक-एक बार गिना जाता है, जबकि हर भीतरी बिंदु को दो बार गिना जाता है, क्योंकि वह दो आसन्न समलम्बों के बीच साझा होता है।
हल किया गया उदाहरण
\(n = 10\) के साथ \(\int_{0}^{1} x^2\,dx\) का अनुमान लगाते हैं। यहाँ \(\Delta x = 0.1\) है। सभी नोड्स पर f के मानों को जोड़ने पर समलम्ब अनुमान \(0.335\) मिलता है, जबकि सटीक मान \(\frac{1}{3} \approx 0.3333\) है। n बढ़ाने पर त्रुटि घटती जाती है, जो लगभग \(\Delta x^2\) के अनुपात में कम होती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मेरा उत्तर सटीक समाकलन से थोड़ा अलग क्यों है? समलम्ब नियम एक सन्निकटन (approximation) है; उप-अंतरालों की संख्या n बढ़ाने पर इसकी त्रुटि कम होती जाती है।
कौन-कौन से फलन समर्थित हैं? बहुपद (polynomials) और संक्रियक + - * / ^, साथ ही sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs, तथा अचर pi और e।
क्या a और b किसी भी क्रम में हो सकते हैं? यदि a > b हो तो परिणाम का चिह्न बस उल्टा हो जाएगा, जो समाकलन की दिशा के अनुरूप है।
