Empirical Rule क्या है?
Empirical Rule — जिसे 68-95-99.7 नियम या three-sigma नियम भी कहते हैं — यह बताता है कि किसी सामान्य (घंटी के आकार वाले) वितरण में डेटा किस तरह फैला होता है। इसके अनुसार लगभग 68% मान माध्य के एक मानक विचलन के भीतर आते हैं, करीब 95% मान दो मानक विचलन के भीतर, और लगभग 99.7% मान तीन मानक विचलन के भीतर आते हैं। यह कैलकुलेटर माध्य (\(\mu\)) और मानक विचलन (\(\sigma\)) को तुरंत इन तीनों अंतरालों में बदल देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने डेटासेट का माध्य और उसका मानक विचलन दर्ज करें, फिर तीनों रेंज देखें। मुख्य रेंज \(\mu \pm 1\sigma\) का अंतराल दिखाती है, जो लगभग 68% प्रेक्षणों को समेटता है, और तालिका इसे 95% तथा 99.7% रेंज तक बढ़ा देती है। यह नियम केवल उसी डेटा पर लागू होता है जो लगभग सामान्य रूप से वितरित हो।
सूत्र की व्याख्या
हर रेंज एक ही सरल व्यंजक \(\mu \pm k\sigma\) से बनती है, जहाँ \(k\) का मान 1, 2 या 3 होता है। निचली सीमा माध्य में से \(k\) गुना मानक विचलन घटाकर मिलती है और ऊपरी सीमा माध्य में \(k\) गुना मानक विचलन जोड़कर। \(k\) का मान जितना बड़ा होगा, अंतराल उतना ही चौड़ा होगा और डेटा का उतना ही बड़ा हिस्सा उसमें समाएगा।
$$\mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma), \quad k = 1, 2, 3$$ $$\begin{gathered} \mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} 68\% &: \mu \pm 1\sigma \\ 95\% &: \mu \pm 2\sigma \\ 99.7\% &: \mu \pm 3\sigma \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए परीक्षा के अंक सामान्य रूप से वितरित हैं, जिनका माध्य 100 और मानक विचलन 15 है। तब 68% अंक 85 और 115 के बीच आते हैं (\(100 \pm 15\)), 95% अंक 70 और 130 के बीच (\(100 \pm 30\)), और 99.7% अंक 55 और 145 के बीच (\(100 \pm 45\))। यानी लगभग हर अंक 55 और 145 के बीच ही रहता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या Empirical Rule हमेशा काम करता है? नहीं — यह केवल उसी डेटा पर लागू होता है जो लगभग सामान्य (सममित और घंटी के आकार वाला) हो। विषम (skewed) डेटा के लिए इसके बजाय Chebyshev असमिका का उपयोग करें।
68, 95 और 99.7 प्रतिशत ही क्यों? ये प्रतिशत मानक सामान्य वक्र के नीचे माध्य से 1, 2 और 3 मानक विचलन के भीतर के क्षेत्रफल से निकलते हैं।
3σ से बाहर के मानों का क्या? केवल लगभग 0.3% डेटा तीन मानक विचलन से बाहर रहता है, इसलिए ऐसे प्रेक्षणों को अक्सर दुर्लभ या संभावित आउटलायर माना जाता है।
