Qu'est-ce que la règle empirique ?
La règle empirique — également appelée règle des 68-95-99,7 ou règle des trois sigmas — décrit la façon dont les données se répartissent dans une distribution normale (en forme de cloche). Elle énonce qu'environ 68 % des valeurs se situent à moins d'un écart type de la moyenne, près de 95 % à moins de deux écarts types, et environ 99,7 % à moins de trois écarts types. Ce calculateur transforme instantanément une moyenne (\(\mu\)) et un écart type (\(\sigma\)) en ces trois intervalles.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la moyenne de votre jeu de données ainsi que son écart type, puis lisez directement les trois intervalles. L'intervalle principal affiche la plage \(\mu \pm 1\sigma\) qui englobe environ 68 % des observations, tandis que le tableau l'élargit aux intervalles à 95 % et à 99,7 %. Cette règle ne s'applique qu'à des données dont la distribution est approximativement normale.
La formule expliquée
Chaque intervalle repose sur la même expression toute simple, \(\mu \pm k\sigma\), où \(k\) vaut 1, 2 ou 3. La borne inférieure correspond à la moyenne diminuée de k fois l'écart type, et la borne supérieure à la moyenne augmentée de k fois l'écart type. Plus k est grand, plus l'intervalle s'élargit et englobe une part importante des données.
$$\mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma), \quad k = 1, 2, 3$$$$\begin{gathered} \mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} 68\% &: \mu \pm 1\sigma \\ 95\% &: \mu \pm 2\sigma \\ 99.7\% &: \mu \pm 3\sigma \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple concret
Supposons que des notes d'examen suivent une distribution normale, avec une moyenne de 100 et un écart type de 15. Dans ce cas, 68 % des notes se situent entre 85 et 115 (\(100 \pm 15\)), 95 % entre 70 et 130 (\(100 \pm 30\)) et 99,7 % entre 55 et 145 (\(100 \pm 45\)). Ainsi, la quasi-totalité des notes se trouve entre 55 et 145.
FAQ
La règle empirique fonctionne-t-elle toujours ? Non — elle ne s'applique qu'à des données approximativement normales (symétriques et en forme de cloche). Pour des données asymétriques, utilisez plutôt l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Pourquoi 68, 95 et 99,7 pour cent ? Ces pourcentages correspondent à l'aire sous la courbe normale centrée réduite située à moins de 1, 2 et 3 écarts types de la moyenne.
Et les valeurs au-delà de 3σ ? Seulement 0,3 % environ des données se trouvent au-delà de trois écarts types ; ces observations sont donc souvent considérées comme rares ou comme des valeurs aberrantes potentielles.
