什麼是經驗法則？
經驗法則（Empirical Rule）又稱為 68-95-99.7 法則或三倍標準差法則，用來描述資料在常態分布（鐘形曲線）中的分布情形。它指出：大約 68% 的數值落在平均值的一個標準差之內，約 95% 落在兩個標準差之內，而約 99.7% 落在三個標準差之內。這個計算器能將平均值（\(\mu\)）與標準差（\(\sigma\)）即時換算成上述三個區間。
如何使用這個計算器
輸入資料集的平均值與標準差，即可讀出三個對應範圍。最上方顯示的是 \(\mu \pm 1\sigma\) 區間，約涵蓋 68% 的觀測值；下方表格則進一步列出 95% 與 99.7% 的範圍。請注意，這項法則僅適用於近似常態分布的資料。
公式說明
每一個範圍都來自同一個簡單算式：
$$\mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma), \quad k = 1, 2, 3$$其中 \(k\) 為 1、2 或 3。下界為平均值減去 \(k\) 倍標準差，上界為平均值加上 \(k\) 倍標準差。\(k\) 值越大，區間就越寬，所涵蓋的資料比例也越高。
$$\begin{gathered} \mu \pm k\sigma = \text{Mean }(\mu) \pm k \cdot \text{SD }(\sigma) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} 68\% &: \mu \pm 1\sigma \\ 95\% &: \mu \pm 2\sigma \\ 99.7\% &: \mu \pm 3\sigma \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
實例演算
假設某次考試的成績呈常態分布，平均值為 100，標準差為 15。那麼 68% 的成績會落在 85 到 115 之間（\(100 \pm 15\)），95% 落在 70 到 130 之間（\(100 \pm 30\)），而 99.7% 落在 55 到 145 之間（\(100 \pm 45\)）。換句話說，幾乎所有成績都介於 55 到 145 之間。
常見問題
經驗法則一定準確嗎？不一定——它只適用於近似常態（對稱且呈鐘形）的資料。若資料呈偏態，則應改用柴比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）。
為什麼是 68、95 與 99.7%？這些百分比來自標準常態曲線下、距平均值 1、2、3 個標準差範圍內的面積。
超過 \(3\sigma\) 的數值又如何？只有大約 0.3% 的資料落在三個標準差之外，因此這類觀測值通常被視為罕見值或潛在的離群值。
