什麼是克拉瑪公式？
克拉瑪公式（Cramer's Rule，又稱克萊默法則）是一種利用行列式求解線性方程組的經典代數方法。對於可寫成 \(A \cdot x = b\) 形式的方程組——其中 \(A\) 是方形的係數矩陣、\(b\) 是常數向量——每一個未知數都能透過「把某個修改後矩陣的行列式除以 \(A\) 的行列式」求得。只要 \(\det(A)\) 不等於零，這個方法就能成立，並保證有唯一解。
如何使用本計算機
先選擇你的方程組是 2×2（兩條方程式，未知數為 \(x\) 與 \(y\)）還是 3×3（三條方程式，未知數為 \(x\)、\(y\)、\(z\)）。接著把係數矩陣 \(A\) 的各項一列一列填入格子裡，並將等號右邊的常數填入 \(b\) 欄。按下計算後，畫面會列出每一個未知數，以及 \(\det(A)\) 與替換後的各個行列式 \(\det(A_x)\)、\(\det(A_y)\) 和 \(\det(A_z)\)。若 \(\det(A)\) 等於零，計算機會提示此方程組沒有唯一解。
公式解析
要求 \(x\)，就把 \(A\) 的第 1 行（column）換成向量 \(b\)，組成 \(A_x\)，再計算 \(x = \det(A_x) / \det(A)\)。求 \(y\) 時換掉第 2 行得到 \(A_y\)；求 \(z\) 時換掉第 3 行。分母 \(\det(A)\) 對每個未知數都相同，因此只需計算一次。
$$x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$
範例演算
求解 \(2x + y = 5\) 與 \(x + 3y = 10\)。此時 \(\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5\)。把第 1 行換成 \(b\) 後，\(\det(A_x) = 5 \cdot 3 - 1 \cdot 10 = 5\)，所以 \(x = 5/5 = 1\)。把第 2 行換成 \(b\) 後，\(\det(A_y) = 2 \cdot 10 - 5 \cdot 1 = 15\)，所以 \(y = 15/5 = 3\)。最終解為 \(x = 1\)、\(y = 3\)。
常見問題
如果 \(\det(A) = 0\) 怎麼辦？此時方程組可能無解，也可能有無限多組解；克拉瑪公式無法給出唯一解，建議改用高斯消去法（Gaussian elimination）。
能用在更大的方程組嗎？數學上可以，但超過 3×3 後，克拉瑪公式的計算量會大幅增加而變得不切實際。本工具涵蓋課堂上最常見的兩種情況。
係數可以是負數或小數嗎？可以。任何欄位都能輸入任意實數，包括負數與小數。
