크라메르 공식이란?
크라메르 공식(Cramer's Rule)은 행렬식을 이용해 일차 연립방정식을 푸는 고전적인 대수 기법입니다. 연립방정식을 \(A\cdot x = b\) 형태로 나타냈을 때, \(A\)는 정사각 계수 행렬이고 \(b\)는 상수 벡터입니다. 각 미지수는 일부 열을 바꾼 행렬의 행렬식을 \(A\)의 행렬식으로 나누어 구합니다. 이 방법은 \(\det(A)\)가 0이 아닐 때만 성립하며, 이 조건이 충족되면 유일한 해가 존재함이 보장됩니다.
계산기 사용 방법
먼저 연립방정식이 2×2(방정식 2개, 미지수 \(x\cdot y\))인지 3×3(방정식 3개, 미지수 \(x\cdot y\cdot z\))인지 선택하세요. 행렬 \(A\)의 계수를 한 행씩 입력란에 채우고, 우변의 상수는 \(b\) 열에 입력합니다. '계산하기'를 누르면 각 미지수와 함께 \(\det(A)\), 그리고 열을 바꾼 행렬식 \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\), \(\det(A_z)\)가 표시됩니다. 만약 \(\det(A)\)가 0이면 계산기가 유일한 해가 없음을 알려 줍니다.
공식 풀어보기
\(x\)를 구하려면 \(A\)의 1열을 벡터 \(b\)로 바꿔 \(A_x\)를 만든 뒤 다음과 같이 계산합니다.
$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)}$$\(y\)는 2열을 바꿔 \(A_y\)를, \(z\)는 3열을 바꿔 \(A_z\)를 만들면 됩니다. 분모인 \(\det(A)\)는 모든 미지수에 동일하게 쓰이므로 한 번만 계산합니다.
예제로 익히기
\(2x + y = 5\)와 \(x + 3y = 10\)을 풀어 봅시다. 먼저 \(\det(A) = 2\cdot 3 - 1\cdot 1 = 5\)입니다. 1열을 \(b\)로 바꾸면 다음과 같습니다.
$$\det(A_x) = 5\cdot 3 - 1\cdot 10 = 5 \implies x = \dfrac{5}{5} = 1$$2열을 바꾸면 다음과 같습니다.
$$\det(A_y) = 2\cdot 10 - 5\cdot 1 = 15 \implies y = \dfrac{15}{5} = 3$$따라서 해는 \(x = 1\), \(y = 3\)입니다.
자주 묻는 질문
\(\det(A) = 0\)이면 어떻게 되나요? 이 경우 해가 없거나 무수히 많습니다. 크라메르 공식으로는 유일한 해를 구할 수 없으므로 가우스 소거법을 사용하세요.
더 큰 연립방정식에도 쓸 수 있나요? 수학적으로는 가능하지만, 3×3을 넘어가면 크라메르 공식은 계산량이 급격히 늘어납니다. 이 도구는 학교에서 가장 자주 다루는 두 가지 경우를 지원합니다.
계수에 음수나 소수를 넣어도 되나요? 됩니다. 음수와 소수를 포함한 어떤 실수든 모든 입력란에 자유롭게 넣을 수 있습니다.
