ما هي قاعدة كرامر؟
قاعدة كرامر طريقة جبرية كلاسيكية لحل أنظمة المعادلات الخطية بالاعتماد على المحددات. فإذا كُتب النظام على الصورة \(A\cdot x = b\)، حيث \(A\) هي مصفوفة المعاملات المربعة و\(b\) هو متجه الثوابت، يُحسب كل مجهول بقسمة محدِّد مصفوفة معدَّلة على محدِّد المصفوفة \(A\). وتنجح هذه الطريقة طالما أن \(\det(A)\) لا يساوي صفرًا، وهو ما يضمن وجود حل وحيد للنظام.
كيف تستخدم هذه الحاسبة
اختر أولًا حجم النظام: 2×2 (معادلتان والمجهولان \(x\) و\(y\)) أو 3×3 (ثلاث معادلات والمجاهيل \(x\) و\(y\) و\(z\)). أدخل معاملات المصفوفة \(A\) في الشبكة صفًا تلو الآخر، ثم اكتب ثوابت الطرف الأيمن في عمود \(b\). اضغط على زر الحساب لتظهر لك قيمة كل مجهول إلى جانب \(\det(A)\) والمحددات البديلة \(\det(A_x)\) و\(\det(A_y)\) و\(\det(A_z)\). وإذا كانت قيمة \(\det(A)\) صفرًا، تنبهك الحاسبة إلى أن النظام لا يملك حلًا وحيدًا.
شرح الصيغة
لإيجاد \(x\)، استبدل العمود الأول من المصفوفة \(A\) بالمتجه \(b\) لتكوين \(A_x\)، ثم احسب \(x = \det(A_x) / \det(A)\). ولإيجاد \(y\)، استبدل العمود الثاني للحصول على \(A_y\)، ولإيجاد \(z\) استبدل العمود الثالث. أما المقام \(\det(A)\) فهو نفسه لكل المجاهيل، لذا يُحسب مرة واحدة فقط.
$$x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
لنحل المعادلتين \(2x + y = 5\) و\(x + 3y = 10\). هنا $$\det(A) = 2\cdot 3 - 1\cdot 1 = 5.$$ وباستبدال العمود الأول بالمتجه \(b\) نحصل على $$\det(A_x) = 5\cdot 3 - 1\cdot 10 = 5,$$ إذن \(x = 5/5 = 1\). وباستبدال العمود الثاني نحصل على $$\det(A_y) = 2\cdot 10 - 5\cdot 1 = 15,$$ إذن \(y = 15/5 = 3\). وبذلك يكون الحل \(x = 1\) و\(y = 3\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(\det(A) = 0\)؟ عندئذٍ يكون للنظام إما لا حل أو عدد لا نهائي من الحلول؛ ولا تستطيع قاعدة كرامر إعطاء حل وحيد، لذا استخدم بدلًا منها طريقة الحذف الغاوسي (Gaussian elimination).
هل تصلح للأنظمة الأكبر؟ رياضيًا نعم، لكن قاعدة كرامر تصبح مكلفة حسابيًا فيما يتجاوز 3×3. وتغطي هذه الأداة أكثر الحالتين شيوعًا في المقررات الدراسية.
هل يمكن أن تكون المعاملات سالبة أو عشرية؟ نعم. يمكنك إدخال أي أعداد حقيقية، بما في ذلك الأعداد السالبة والكسور العشرية، في أي خانة.
