Cramer kuralı nedir?
Cramer kuralı, doğrusal denklem sistemlerini determinantlar yardımıyla çözen klasik bir cebir yöntemidir. \(A \cdot x = b\) biçiminde yazılan bir sistemde \(A\), katsayıların oluşturduğu kare matristir; \(b\) ise sabitler vektörüdür. Her bilinmeyen, değiştirilmiş bir matrisin determinantının \(A\)'nın determinantına bölünmesiyle bulunur. Yöntem, \(\det(A)\) sıfırdan farklı olduğu sürece geçerlidir; bu da tek ve benzersiz bir çözümün varlığını garanti eder.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Önce sisteminizin 2×2 (iki denklem; \(x\) ve \(y\) bilinmeyenleri) mı yoksa 3×3 (üç denklem; \(x\), \(y\) ve \(z\) bilinmeyenleri) mü olduğunu seçin. \(A\) matrisinin katsayılarını satır satır tabloya, eşitliğin sağ tarafındaki sabitleri ise \(b\) sütununa yazın. Hesapla düğmesine bastığınızda her bilinmeyenin değerini; bunun yanında \(\det(A)\) ile değiştirme determinantları \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) ve \(\det(A_z)\) sonuçlarını görürsünüz. Eğer \(\det(A)\) sıfıra eşitse araç, sistemin tek bir benzersiz çözümünün olmadığını size bildirir.
Formülün açıklaması
\(x\)'i bulmak için \(A\) matrisinin 1. sütununu \(b\) vektörüyle değiştirerek \(A_x\)'i oluşturun, ardından \(x = \det(A_x) / \det(A)\) işlemini yapın. \(y\) için 2. sütunu değiştirip \(A_y\)'yi; \(z\) için 3. sütunu değiştirip \(A_z\)'yi elde edersiniz. Paydadaki \(\det(A)\) her bilinmeyen için aynı olduğundan yalnızca bir kez hesaplanır.
$$x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D} \qquad \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$
Örnek çözüm
\(2x + y = 5\) ve \(x + 3y = 10\) sistemini çözelim. Burada $$\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$$ olur. 1. sütunu \(b\) ile değiştirince $$\det(A_x) = 5 \cdot 3 - 1 \cdot 10 = 5$$ çıkar; dolayısıyla \(x = 5/5 = 1\). 2. sütunu değiştirince $$\det(A_y) = 2 \cdot 10 - 5 \cdot 1 = 15$$ çıkar; dolayısıyla \(y = 15/5 = 3\). Çözüm \(x = 1\), \(y = 3\)'tür.
Sıkça sorulan sorular
\(\det(A) = 0\) ise ne olur? Bu durumda sistemin ya hiç çözümü yoktur ya da sonsuz sayıda çözümü vardır; Cramer kuralı benzersiz bir sonuç veremez. Böyle durumlarda Gauss eleme yöntemini kullanın.
Daha büyük sistemlerde işe yarar mı? Matematiksel olarak evet; ancak 3×3'ten büyük sistemlerde Cramer kuralı hesaplama açısından çok yük getirir. Bu araç, derslerde en sık karşılaşılan iki durumu kapsar.
Katsayılar negatif veya ondalıklı olabilir mi? Evet. Negatif ve ondalıklı sayılar dâhil her türlü gerçek sayıyı istediğiniz alana girebilirsiniz.
